Статистика Дарбина-Уотсона

Материал из MachineLearning.

Статистика Дарбина-Уотсона предназначена для проверки независимости регресионных остатков.

Содержание

1 Применение
2 Описание статистики
3 Литература
4 См. также
5 Ссылки

Применение

Определенную информацию об адекватности уравнения регрессии даёт исследование регрессионных остатков. Если выборочная регрессия удовлетворительно описывает истинную регрессионную зависимость, то остатки должны быть независимыми нормально распределенными случайными величинами с нулевым средним, и в их значениях должен отсутствовать тренд. Для проверки независимости остатков используется статистика Дарбина-Ватсона.

Описание статистики

Пусть дана последовательность наблюдаемых величин

$y_1(x_1),\dots,y_n(x_n)$

и найдены их оценки

$\hat{y_1}(x_1),\dots,\hat{y_n}(x_n)$ ,

где

$\hat{y_i}(x_i)=a+bx_i$ .

Остатки регрессии обозначим через

$e_i=y_i-\hat{y_i}$ .

Если выборочная регрессия $\hat{y}$ удовлетворительно описывает истинную зависимость между $y$ и $x$ , то остатки $e_i$ должны быть независимыми нормально распределенными случайными величинами с нулевым средним, и в значениях $e_i$ должен отсутствовать тренд. Независимость остатков может быть проверена при помощи коэффициента корреляции Дарбина-Уотсона, имеющего вид

$D=\frac{\sum_{i=2}^n (e_i - e_{i-1})^2}{\sum_{i=1}^n e_i^2}$ .

Если $D > D_1(\alpha)$ или $D > 4-D_1(\alpha)$ , то с достоверностью $\alpha$ принимается гипотеза о наличии соответственно отрицательной или положительной корреляции остатков. Если $D_2(\alpha) > D > D_1(\alpha)$ или $4-D_1(\alpha) > D > 4-D_2(\alpha)$ , то критерий не позволяет принять решение по гипотезе о наличии или отсутствии корреляции остатков. Если $D_2(\alpha) < D < 4 - D_2(\alpha)$ , то гипотеза корреляции остатков отклоняется. Критические значения $D_1(\alpha), D_2(\alpha)$ для различных $\alpha$ берутся из табличных данных.

Литература

Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.
Durbin J., Watson G. S. Testing for serial correlation in least-squares regression // Biometrika. 1951. V. 38. P. 159-178.