Критерий экстремумов

Материал из MachineLearning.

Критерий экстремумов — статистический тест, позволяющий проверить нулевую гипотезу о том, что выборка случайна.

Этот тест часто применяют трейдеры, как простой способ проверки наличия тренда в данных. Также этот критерий используется при анализе регрессионных остатков.

Гипотеза случайности

Пример задачи. Проверить сгенерированную последовательность чисел на случайность.

Пусть задана выборка $X^m= (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R}$ .

Проверим гипотезу о том, что $x_i( i = 1,\dots,m)$ одинаково распределены,независимы и все их перестановки равновероятны.

Нулевая гипотеза $H_0:<tex>X^m$ - случайна.

Будем считать, что в случайной последовательности не должно быть частых переключений (с возрастания последовательности на убывание и наоборот) и не должно быть длинных интервалов монотонности. Критерий экстремумов позволяет отловить эти 2 типа поведения последовательности: "пила" и линейный тренд.

Пусть число локальных экстремумов в последовательности $X^m$ равно $T$ . В случае "пилы" $T=m-2$ , а в случае линейного тренда $T=0$ . Вычислим величины

$ET = \frac{2}{3}m , DT = \frac{8}{45}m$

Статистика критерия:

$N=\frac{T-ET}{sqrt{DT}}$

имеет стандартное нормальное распределение. Тогда критической областью критерия являются хвосты нормального распределения, что соотвествует альтернативной гипотезе $H_1$ .