Участник:Валентин Голодов/Песочница

Материал из MachineLearning.

< Участник:Валентин Голодов

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

1 Введение
2 Постановка задачи
3 Изложение метода
- 3.1 Общий случай
- 3.2 Частные случаи для некоторых значений параметров
4 Недостатки метода
5 Пример программы
6 Список литературы

Введение

Постановка задачи

Пусть требуется вычислить интеграл

( 1 )

$I=\int_a^b{f(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx},$

где $\omega(b-a)\gg 1,$ $f(x)$ - гладкая на отрезке $[a,b]$ функция.
Вычисление интегралов такого рода является типичной задачей, встречающейся при разложении функций в ряды Фурье, при построении диаграмм направленности антенн и т.д.

Изложение метода

Общий случай

Будем рассматривать функцию $\textstyle exp{\{\imath*\omega x\}}$ как весовую.

Подобно интегрированию без этого весового множителя, зададимся некоторыми $d_1,\ldots,d_n \in [-1,1]$ и построим

интерполяционный многочлен Лагранжа $L_n(x)$ степени $n-1,$ совпадающий с $f(x)$ в точках $x_j=\frac{b+a}{2}+\frac{b-a}{2}d_j,$ $j=1,\ldots,n$
и заменим исходный интеграл на

( 2 )

$\int_a^b{L_n(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx}.$
Последний интеграл vожет быть вычислен в явном виде

$\int_a^b{L_n(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx}=S_n^\omega(f)=\frac{b-a}{2}exp{\left\{\imath\omega \frac{b+a}{2}\right\}}\sum_{j=0}^{n}D_j\left(\omega \frac{b-a}{2}\right)f(x_j),$ где

$D_j=\int_{-1}^{+1}{\left(\prod_{k\neq j}{\frac{\xi-d_k}{d_j-d_k}} \right)exp{\left\{\imath p\xi \right\}}d\xi}.$
Получилась квадратурная формула

$\int_a^b{f(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx}\approx S_n^\omega(f)$

с остаточным членом

$R_n(f)=\int_a^b{(f(x)-L_n(x)exp{\{\imath*\omega x\}}dx}\approx S_n^\omega(f)$

Как и в общей формуле Ньютона-Котеса справедлива оценка

$R_n(f)\leq\int_a^b{\left | (f(x)-L_n(x))\right | dx}\leq D(d_1,\ldots,d_n)\left(\max_{[a,b]}{ \left|{f^{(n)}(x)\right | \right){\left(\frac{b-a}{2}\right)}^{n+1},$ где

$D(d_1,\ldots,d_n)=\int_{-1}^{+1}{\frac{ \left | \omega_n^0p^0(t)\right | } {n!}dt},$

$\omega_n^0p^0(t)=(t-d_1)\ldots(t-d_n),\ p^0(t)=p\left(\frac{b+a}{2}+\frac{b-a}{2}t \right)$

Частные случаи для некоторых значений параметров

Обычно в программах вычисления интегралов от быстро осциллирующих функций используются формулы (1) и (2), соответствующие случаям: $n=3,\ d_1=-1,\ d_2=0,\ d_3=1$ (Формула Филона) или $n=5,\ d_1=-1,\ d_2=-0.5,\ d_3=0,\ d_4=0.5,\ d_5=1$ Рассчетные коэффициенты в формуле (2) для формулы Филона:

$D_1(z)=z^{-3}\left[2z\cos(z)-\sin(z)\left(2-z^2\right)+\imath \left(z^2\cos(z)-z sin(z) \right) \right]$

$D_2(z)=z^{-3}\left[4\sin(z)-4z\cos(z)\right]$

$D_3(z)=z^{-3}\left[2z\cos(z)+sin(z) \left(z^2-2 \right )+\imath \left(z sin(z) - z^2 cos(z) \right) \right]$

Недостатки метода

Если формулы (1) и (2) использовать для вычисления интергалов от функций, не являющихся сильно осциллирующими, то может возникнуть следующая ситуация. Проиллюстрируем её для $n=2,\ d_1=-1,\ d_2=1.$ В этом случае

$D_1(p)=\int_{-1}^{+1}{ \frac{1-\xi}{2} exp{\{\imath*p \xi\}} d\xi}=\frac{\sin p}{p}+\frac{p\cos p - \sin p}{p^2} \imath,$

$D_2(p)=\int_{-1}^{+1}{ \frac{1+\xi}{2} exp{\{\imath*p \xi\}} d\xi}=\frac{\sin p}{p}-\frac{p\cos p - \sin p}{p^2} \imath.$

При $p\rightarrow 0$ имеем

$\frac{p\cos p - \sin p}{p^2}= - \frac{p}{3}+O(p^3) \rightarrow 0,\ \frac{\sin p}{p} \rightarrow 1.$

Таким образом, $D_1(p),D_2(p)\rightarrow 1 при p\rightarrow 0.$
Пусть $p$ - малое число. Функции $\sin p$ и $p\cos p$ вычисляются в машине с погрешностями $O(2^{-t}) и O(p2^{-t})$ соответственно. Вследствие этого коэффициенты $D_1(p),\ D_2(p)$ приобритают погрешность $O(2^{-t}/p))<\tex>. При <tex>n\g 2$ оказывается, что погрешность коэффициентов $D_j(p)$ , вычисляемых по формулам (1), может оказаться величиной порядка $2^{-t}/p^{n-1}))$ . При $t=30, \ n=5,\ p=0,01$ такая погрешность уже недопустима.