Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)/2015/1

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Ниже под обозначением X^n, \;\; X_i \sim p\cdot N(\mu,\sigma^2)+ \left(1-p\right)\cdot F понимается выборка объёма n из смеси нормального распределения N(\mu,\sigma^2) и распределения F с весами p и 1-p соответственно (при генерации каждой выборки используется случайный датчик — если его значение не превосходит p, то добавляем в выборку элемент, взятый из нормального распределения, иначе — элемент, взятый из распределения F).

Анализ поведения схожих критериев

Требуется исследовать поведение указанной пары статистических критериев, подходящих для решения одной и той же задачи, сравнить мощность и достигаемые уровни значимости и сделать выводы о границах применимости критериев. Необходимо для каждого из критериев построить графики зависимости достигаемых уровней значимости и оценок мощностей от параметров, и показать, в каких областях изменения параметров предпочтительнее использовать тот или иной критерий. Для получения более гладких графиков рекомендуется применять оба критерия к одним и тем же выборкам, а не генерировать их отдельно для каждого критерия.

  • X^n, \;\; X\sim Ber(p);
    H_0\,:\, p=p_0,
    H_1\,:\, p\neq p_0;
    p=0.01\,:\,0.01\,:\,0.5, \;\; n=5\,:\,1\,:\,70.
Сендерович: p_0=\frac1{2}, сравнить z-критерии в версиях Вальда и множителей Лагранжа.
Лисяной: p_0=\frac1{4}, сравнить z-критерий (в версии множителей Лагранжа) и точный критерий.
  • X_1^{n_1}, \;\; X_{1} \sim N(\mu_1, \sigma_1^2),
    X_2^{n_2}, \;\; X_{2} \sim N(\mu_2, \sigma_2^2);
    H_0\,: средние равны,
    \;H_1\,: средние не равны;
    n_1=25, \;\; \mu_1=0, \;\; \sigma_1=1.
Колмаков: \mu_2=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma_2 = 2, \;\; n_2=5\,:\,1\,:\,70, сравнить версии t-критерия для равных и неравных дисперсий.
Шапулин: \mu_2=0.5, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_2=5\,:\,1\,:\,70, сравнить t- и z-критерии для неравных дисперсий.
Тюрин: \mu_2=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_2=50, сравнить t-критерий для неравных дисперсий и критерий Манна-Уитни-Уилкоксона.
  • X_1^n, \;\; X_{1} \sim N(0, \sigma_1^2),
    X_2^n, \;\; X_{2} \sim N(0, \sigma_2^2);
    H_0\,:\, \mathbb{D}X_{1} = \mathbb{D}X_{2},
    H_1\,:\, \mathbb{D}X_{1} \neq \mathbb{D}X_{2}.
Чистяков: \sigma_1=1, \;\;\sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\;  n=5\,:\,1\,:\,70, сравнить критерии Ансари-Брэдли и Зигеля-Тьюки.
Корольков: \sigma_1= 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\;\sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\;  n=30, сравнить критерии Фишера и Ансари-Брэдли.
  • X^n, \;\; X\sim N(\mu,\sigma);
    H_0\,: среднее значение X равно нулю,
    H_1\,: среднее значение X не равно нулю;
    \mu=0\,:\,0.01\,:\,2,  \;\; n=5\,:\,1\,:\,70.
Козлов: \sigma=1, сравнить критерии знаков и знаковых рангов.
  • X^n, \;\; X \sim p\cdot N(0,1)+ \left(1-p\right)\cdot F;
     H_0\,:\; X \sim N,
    H_1\,:\; H_0 неверна;
    n=20\,:\,1\,:\,100.
Апишев: F = C\left(0,1\right)— стандартное распределение Коши; p=0\,:\,0.01\,:\,1, сравнить критерии Андерсона-Дарлинга и Лиллиефорса.

Анализ устойчивости критериев к нарушению предположений

Требуется исследовать поведение указанного критерия в условиях нарушения лежащих в его основе предположений. Оценить мощность и достигаемый уровень значимости критерия при различных значениях параметров, сделать выводы об устойчивости.

  • Двухвыборочный t-критерий для равных дисперсий, нарушение предположения о равенстве дисперсий.
    X_1^{n_1}, \;\; X_{1} \sim N(0,1),
    X_2^{n_2}, \;\; X_{2} \sim N(\mu,\sigma^2);
    H_0\,:\; \mathbb{E}X_{1} = \mathbb{E}X_{2},
    H_1\,:\; \mathbb{E}X_{1} \neq \mathbb{E}X_{2}.
Хальман: \mu=1, \;\; \sigma=0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_1=5\,:\,1\,:\,70, \;\; n_2 = 30.
  • Одновыборочный t-критерий, нарушение предположения о нормальности.
    X^n, \;\; X \sim p\cdot N(\mu,1)+ \left(1-p\right)\cdot F;
    H_0\,:\; \mathbb{E}X=0
    H_1\,:\; \mathbb{E}X\neq0;
    \mu=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.
Дойков: F = C\left(\mu,3\right)— распределение Коши с коэффициентом сдвига \mu и коэффициентом масштаба 3; \;\; n=50.
Славнов: F = U\left[-5+\mu, 5+\mu\right]— непрерывное равномерное распределение на \left[-5+\mu,5+\mu\right]; \;\; n=30.
  • Одновыборочный критерий хи-квадрат для гипотезы о дисперсии, нарушение предположения о нормальности.
    X^n, \;\; X \sim p\cdot N(\mu,1)+ \left(1-p\right)\cdot F;
    H_0\,:\; \mathbb{D}X=1
    H_1\,:\; \mathbb{D}X\neq1;
    \sigma=0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n=50.
Ожерельев: F = U\left[-\frac{\sigma}{\sqrt{3}}, \frac{\sigma}{\sqrt{3}}\right] — непрерывное равномерное распределение на \left[-\frac{\sigma}{\sqrt{3}}, \frac{\sigma}{\sqrt{3}}\right].
  • Критерий Фишера для проверки равенства дисперсий, нарушение предположения о нормальности.
    X_1^{n_1}, \;\; X_{1} \sim p_1\cdot N(0,\sigma_1^2)+ \left(1-p_1\right)\cdot F_1,
     X_2^{n_2},\;\; X_{2} \sim p_2\cdot N(0,\sigma_2^2)+ \left(1-p_2\right)\cdot F_2;
    H_0\,:\, \mathbb{D}X_{1} = \mathbb{D}X_{2},
    H_1\,:\, \mathbb{D}X_{1} \neq \mathbb{D}X_{2};
    \sigma_1=1, \;\; \sigma_2=0.2\,:\,0.01\,:\,2.
Лукашкина: F_1 = U\left[-\frac1{\sqrt{3}}, \frac1{\sqrt{3}}\right], \;\; F_2 = U\left[-\frac{\sigma}{\sqrt{3}}, \frac{\sigma}{\sqrt{3}}\right] — непрерывные равномерные распределения; p_1=p_2=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n_1=n_2=50.
Готман: F_1 = U\left[-\frac1{\sqrt{3}}, \frac1{\sqrt{3}}\right] — непрерывное равномерное распределение; p_1=0.7, \;\; p_2 = 1, \;\; n_1=5\,:\,1\,:\,70, \;\; n_2=50.

Ссылки