Кортеж

Материал из MachineLearning.

Кортеж — конечная последовательность элементов, называемых также «компонентами кортежа». Компоненты могут быть произвольными математическими объектами. Компоненты индексируются натуральными числами. Кортеж из $n$ компонентов называется $n$ -кой: парой, тройкой, четверкой и т. д.

Кортеж

может содержать один элемент более одного раза (и этим он отличаетя от упорядоченного множества);
задает порядок элементов (и этим он отличается от мультимножества);
имеет конечное число элементов (и этим он отличается от произвольного множества).

Два кортежа равны друг другу, если их элементы попарно равны:

$(a_1, a_2, \ldots, a_n) = (b_1, b_2, \ldots, b_n) \Leftrightarrow a_1=b_1,\;a_2=b_2,\;\ldots,\;a_n=b_n.$

Так как кортеж из $n$ элементов индексирован числами $1\ldots n$ , он представим в виде функции, определенной на множестве натуральных чисел: $(a_1, a_2, \ldots, a_n) \equiv f_a:\; \mathbb{N}\to A,\; i\mapsto a_i.$

Также кортеж может быть описан как множество упорядоченных пар (при $n>2$ ) вида $(a_1, a_2, \ldots, a_n) = \bigl(a_1, (a_2, \ldots, a_n) \bigr).$ Тогда кортеж из $n$ элементов может быть задан индуктивно:

пустой кортеж представлен в виде пустого множества, $\emptyset$ ,
если $x$ есть $n$ -элементный кортеж , тогда $n+1$ -элементный кортеж $\bigl\{ \{a\},\{a,x\} \bigr\}$ .

Например, кортеж $(a,b,b)$ представим в виде: $(a,(b,(b,\emptyset))) = (a,(b, \{\{b\}, \{b, \emptyset\}\} )) = (a, \{\{b\}, \{b, \{\{b\}, \{b, \emptyset\}\}\}\} ) = \{\{a\}, \{a, \{\{b\}, \{b, \{\{b\}, \{b, \emptyset\}\}\}\}\}\}$