Применение интерполирования при дифференцировании
Материал из MachineLearning.
Содержание |
Введение
Постановка математической задачи
Численное дифференцирование применяется, если функцию трудно или невозможно продифференцировать аналитически - например, если она задана таблицей. Оно нужно также при решении дифференциальных уравнений при помощи разностных методов.
Изложение метода
При численном дифференцировании функцию аппроксимируют легко вычисляемой функцией и приближенно полагают . При этом можно использовать различные способы аппроксимации.
Интерполирование полиномами Ньютона
Рассмотрим случай аппроксимации интерполяционным многочленом Ньютона.
Пусть задана сетка - исследуемая функция. Введем обозначение и введем понятие разделенные разности , определяемые следующим образом:
- ,
- и т.д.
Можно доказать, что
- .
Запишем интерполяционный многочлен Ньютона и продифференцируем его почленно:
Общая формула примет следующий вид:
Обрывая ряд на некотором числе членов, получим приближенное выражение для соответствующей производной. Наиболее простые выражения получим, оставляя в формуле (1) только первый член:
- ,
- ,
Исследование точности полученных выражений при численных расчётах удобно делать при помощи апостериорной оценки, по скорости убывания членов ряда (1). Если шаг сетки достаточно мал, то погрешность близка к первому отброшенному члену. Пусть мы используем узлы . Тогда первый отброшенный член содержит разделенную разность , которая согласно (2) примерно равна . Перед ней стоит сумма произведений различных множителей ; каждое произведение содержит множителей, а вся сумма состоит из слагаемых. Отсюда следует оценка погрешности формулы (3) с узлами:
В частности, если сетка равномерная, то , откуда
- .
Стоит заметить, что строгое априорное исследование погрешности формулы (3), аналогичное выводу остаточного члена многочлена Ньютона в форме Коши, для произвольного расположения узлов приводит к той же оценке (3).
Таким образом, порядок точности формулы (1) по отношению к шагу сетки равен числу оставленных в ней членов, или, что то же самое, он равен числу узлов интерполяции минус порядок производной. Поэтому минимальное число узлов, необходимое для вычисления -й производной, равно ; оно приводит к формулам (2) и обеспечивает первый порядок точности. Эти выводы соответствуют общему принципу: при почленном дифференцировании ряда скорость его сходимости уменьшается.
Интерполирование полиномами Лагранжа
Рассмотрим неравномерную сетку и обозначим за , шаги этой сетки. В качества примера получим формулы численного дифференцирования, основанные на использовании многочлена Лагранжа , построенного для функции по трем точкам . Многочлен имеет вид
Отсюда получим
Это выражение можно принять за приближенное значение в любой точке ∈ . Его удобнее записать в виде , где , .
В частности, при получим , И если сетка равномерна, , то приходим к центральной разностной производной, . При использовании интерполяционного многочлена первой степени точно таким образом можно получить односторонние разностные производные и . Далее вычисляя вторую производную многочлена , получим приближенное выражение для при ∈:
≈
На равномерной сетке это выражение совпадает со второй разностной производной . Ясно, что для приближенного вычисления дальнейших производных уже недостаточно многочлена , надо привлекать многочлены более высокого порядка и тем самым увеличивать число узлов, участвующих в аппроксимации.
Порядок погрешности аппроксимации зависит как от порядка интерполяционного многочлена, так и от расположения узлов интерполирования. Получим выражение для погрешности аппроксимации, возникающей при замене выражением . Будем считать, что ∈ и что величины имеют один и тот же порядок малости при измельчении сетки. По формуле Тейлора в предположении ограниченности получим ,
где ,±
Отсюда приходим к следующим разложениям разностных отношений
Подставляя полученные формулы в выражение для разностной производной и приводя подобные слагаемые получим
, ∈ .
Отсюда видно,что разностное выражение аппроксимирует со вторым порядком.
Если подставить полученные ранее разностные отношения в выражение для второй производной многочлена , то имеем
Из этого выражения видно, что даже на равномерной сетке,т.е. когда , второй порядок аппроксимации имеет место лишь в точке , а относительно других точек (например,) выполняется аппроксимация только первого порядка. Таким образом, получим аппроксимацию лишь первого порядка.
Интеполирование кубическими сплайнами
Для того, чтобы избежать больших погрешностей в процессе приближения, весь отрезок [a,b] разбивают на частичные отрезки и на каждом из частичных отрезков приближенно заменяют функцию многочленом невысокой степени (так называемая кусочно-полиномиальная интерполяция). Одним из способов интерполирования на всем отрезке является интерполирование с помощью сплайн-функций.
Сплайн-функцией или сплайном называют кусочно-полиномиальную функцию, определенную на отрезке [a,b] и имеющую на этом отрезке некоторое число непрерывных производных. Преимущество сплайнов перед обычной интерполяцией является, во-первых их сходимость, во-вторых, устойчивость процесса вычислений.
Построение кубического сплайна.
Пусть на [a,b] задана непрерывная функция . Введем сетку и обозначим , . Сплайном соответствующим данной функции и данным узлам называется функция , удовлетворяющая следующим условиям:
а) на каждом сегменте , функция является многочленом третьей степени;
б) функция , а также её первая и вторая производная производные непрерывны на [a,b];
в) ,;
На каждом из отрезков , будем искать функцию в виде многочлена третьей степени
,
где , , где - коэффициенты, подлежащие определению. Доказано, что существует единственный кубический сплайн, определяемый условиями а)-в) и граничными условиями .
Для их нахождения используются следующие формулы
1) ,
2) Для определения коэффициентов получаем систему уравнений
,
(система решается методом прогонки) По найденным коэффициентам коэффициенты , определяются с помощью явных формул
3)
4)
Найдем производные введенного кубического сплайна, имеем
Рассмотрим оценку погрешности метода, которая зависит от выбора сеток и от гладкости . Для простоты изложения допустим, что сетка равномерная, т.е.
с шагом
От функции будем требовать существования непрерывной на [a,b] четвертой производной, ∈ . Кроме того, предположим, что выполнены граничные условия и такие же условия для сплайнов. Обозначим,
,
Пусть - кубический сплайн, построенный для функции на сетке . В следующей теореме приведены оценки погрешности интерполяции для функции и её производных ,
Теорема
Для ∈ справедливы оценки
Из этих оценок следует, что при (т.е. при ) последовательности , сходятся соответственно к функциям .
Обычно дифференцирование кубического сплайна позволят определить первую и вторую производную интерполяционного многочлена с хорошей точностью. Если надо вычислить более высокие производные, то целесообразно строить сплайны высоких порядков. Из-за большей трудоемкости этот способ редко используется. Способ дифференцирования с помощью сплайновой интерполяцией теоретически мало исследован.
Тригонометрическая интерполяция
Не всякую функцию целесообразно приближать алгебраическими многочленами. Рассмотрим тригонометрическую интерполяцию. Если - периодическая функция с периодом l, то естественно строить приближения с помощью функций
Таким образом, тригонометрическая интерполяция состоит в замене тригонометрическим многочленом
- ,
коэффициенты которого отыскиваются из системы уравнений
,
где .
Рекомендации программисту
При реализации достаточно сложно и трудоемко использовать методы сплайнов и метод тригонометрической интерполяции. Поэтому был рассмотрен случай интерполирования полиномом Лагранжа по трем точкам. При вычислении полиномов ошибка была ничтожна. При попытке в качестве функции взять синус,ошибка достигала очень большх цифр и был порядка 1.0, что достаточно велико для этой функции. Поэтому следует внимательно выбирать шаг, расстояние между точками. Программа требует ввода координат трех точек для полинома в порядке возрастания,а также точки промежуточной, в которой будет находиться значение производной. На экран выводится значение, полученное при помощи полинома Лагранжа,истинное значение, полученное аналитически и ошибка вычисления. Приведем примеры работы программы
Координаты первой точки | Координаты второй точки | Координаты третьей точки | Координаты четвертой точки | Ошибка вычисления |
---|---|---|---|---|
0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.15 | 0.0056875 |
1.0 | 2.0 | 3.0 | 1.5 | 5.6875 |
0.01 | 0.02 | 0.03 | 0.015 | -0.00250664 |
0.15 | 0.24 | 0.3 | 0.22 | 0.0042998 |
Список литературы
- А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы. Москва «Наука», 1989.
- Н.Н.Калиткин. Численные методы. Москва «Наука», 1978.