Статистическое оценивание

Материал из MachineLearning.

Версия от 07:51, 11 ноября 2009; Pavel Vilenkin (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Содержание

1 Постановка задачи
2 Литература
3 Ссылки

Постановка задачи

Задача статистического оценивания неизвестных параметров - одна из двух основных (наряду с задачей проверки статистических гипотез) задач математической статистики.

Предположим, что имеется параметрическое семейство распределений вероятностей $F(t,\theta)$ (для простоты будем рассматривать распределение случайных величин и случай одного параметра). Здесь $\theta\in\mathbb{R}$ - числовой параметр, значение которого неизвестно. Требуется оценить его по имеющейся выборке $X^n=(X_1,\ldots,X_n)$ значений, порожденной данным распределением.

Различают два основных типа оценок: точечные оценки и доверительные интервалы.

Точечное оценивание

Точечное оценивание - это вид статистического оценивания, при котором значение неизвестного параметра $\theta$ приближается отдельным числом. То есть необходимо указать функцию от выборки (статистику)

$\widehat\theta_n=\widehat\theta_n(X^n)$ ,

значение которой будет рассматриваться в качестве приближения к неизвестному истинному значению $\theta$ .

Ниже приводятся некоторые свойства, которыми могут обладать или не обладать точечные оценки.

Состоятельность

Одно из самых очевидных требований к точечной оценке заключается в том, чтобы можно было ожидать достаточно хорошего приближения к истинному значению параметра при достаточно больших значениях объема выборки $n$ . Это означает, что оценка $\widehat\theta_n$ должна сходиться к истинному значению $\theta$ при $n\to\infty$ . Это свойство оценки и называется состоятельностью. Поскольку речь идет о случайных величинах, для которых имеются разные виды сходимости, то и данное свойство может быть точно сформулировано по-разному:

если $\widehat\theta_n$ сходится к истинному значению $\theta$ с вероятностью 1 (почти наверное), то тогда оценка называется сильно состоятельной;
если имеет место сходимость по вероятности $\widehat{\theta}_n\stackrel{P}{\longrightarrow}\theta$ , то тогда оценка называется слабо состоятельной.