Байесовский классификатор
Материал из MachineLearning.
Содержание |
Введение
Байесовский подход основан на теореме, утверждающей, что если плотности распределения каждого из классов известны, то искомый алгоритм можно выписать в явном аналитическом виде. Более того, этот алгоритм оптимален, то есть обладает минимальной вероятностью ошибок.
На практике плотности распределения классов, как правило, не известны. Их приходится оценивать (восстанавливать) по обучающей выборке. В результате байесовский алгоритм перестаёт быть оптимальным, так как восстановить плотность по выборке можно только с некоторой погрешностью. Чем короче выборка, тем выше шансы подогнать распределение под конкретные данные и столкнуться с эффектом переобучения.
Байесовский подход к классификации является одним из старейших, но до сих пор сохраняет прочные позиции в теории распознавания. Он лежит в основе многих достаточно удачных алгоритмов классификации.
Основная формула
Пусть — множество описаний объектов,
— множество номеров (или наименований) классов.
На множестве пар «объект, класс»
определена
вероятностная мера
.
Имеется конечная обучающая выборка независимых наблюдений
,
полученных согласно вероятностной мере
.
Задача классификации заключается в том, чтобы построить алгоритм
,
способный классифицировать произвольный объект
.
В байесовской теории классификации эта задача разделяется на две.
Построение классификатора при известных плотностях классов
Задача 1.
Пусть для каждого класса известна
априорная вероятность
того, что появится объект класса
,
и плотности распределения
каждого из классов,
называемые также функциями правдоподобия классов.
Требуется построить алгоритм классификации
,
доставляющий минимальное значение функционалу среднего риска.
Средний риск опредеяется как математическое ожидание ошибки:
где — цена ошибки или
штраф за отнесение объекта класса
к какому-либо другому классу.
Теорема. Решением этой задачи является алгоритм
Если классы равнозначны, ,
то объект
просто относится к классу
с наибольшим значением плотности распределения в точке
.
Восстановление плотностей классов по обучающей выборке
Задача 2.
По заданной подвыборке объектов класса
построить эмпирические оценки априорных вероятностей
и функций правдоподобия
.
В качестве оценки априорных вероятностей берут, как правило, долю объектов данного класса в обучающей выборке.
Восстановление плотностей (функций правдоподобия каждого из классов) является самой трудной задачей. Наиболее распространены три подхода: параметрический, непараметрический и расщепление смеси вероятностных распределений. Третий подход занимает промежуточное положение между первыми двумя, и в определённом смысле является наиболее общим.
- Параметрическое восстановление плотности при дополнительном предположении, что плотности нормальные (гауссовские), приводит к нормальному дискриминантному анализу и линейному дискриминанту Фишера.
- Непараметрическое восстановление плотности приводит, в частности, к методу парзеновского окна.
- Восстановление смеси плотностей может быть сделано с помощью EM-алгоритма. Дополнительное предположение, что плотности компонент смеси являются радиальными функциями, приводит к методу радиальных базисных функций. Обычно в качестве компонент смеси берут, опять-таки, гауссовские плотности.
Таким образом, формула байесовского классификатора приводит к большому разнообразию байесовских алгоритмов, отличающихся только способом восстановления плотностей.
Наивный байесовский классификатор
Наивный байесовский классификатор (naїve Bayes)
основан на той же формуле и дополнительном предположении, что
объекты описываются независимыми признаками:
.
Следовательно, функции правдоподобия классов представимы в виде
,
где
— плотность распределения значений
-го признака для класса
.
Предположение о независимости существенно упрощает задачу,
так как оценить одномерных плотностей гораздо легче, чем
одну
-мерную плотность.
К сожалению, оно крайне редко выполняется на практике, отсюда и название метода.
Наивный байесовский классификатор может быть как параметрическим, так и непараметрическим, в зависимости от того, каким методом восстанавливаются одномерные плотности.
Основные его преимущества — простота реализации и низкие вычислительные затраты при обучении и классификации. В тех редких случаях, когда признаки действительно независимы (или почти независимы), наивный байесовский классификатор (почти) оптимален.
Основной его недостаток — относительно низкое качество классификации в большинстве реальных задач.
Чаще всего он используется либо как примитивный эталон для сравнения различных моделей алгоритмов, либо как элементарный строительный блок в алгоритмических композициях.
Литература
- Айвазян С. А., Бухштабер В. М., Енюков И. С., Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика: классификация и снижение размерности. — М.: Финансы и статистика, 1989.
- Вапник В. Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. — М.: Наука, 1979.
- Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. — М.: Мир, 1976.
- Hastie T., Tibshirani R., Friedman J. The Elements of Statistical Learning. — Springer, 2001. ISBN 0-387-95284-5.
Ссылки
- Воронцов К.В. Математические методы обучения по прецедентам. МФТИ (2004), ВМиК МГУ (2007).
