Вычисление второй производной по одной переменной

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Введение

Постановка математической задачи

Допустим, что в некоторой точке x у функции y(x) существует производная 2-го порядка y''(x), которую точно вычислить либо не удается, либо слишком сложно. В этом случае для приближенного нахождения производной функции требуется использовать методы численного дифференцирования.

Изложение метода

Полиномиальные формулы

При численном дифференцировании функцию y(x) аппроксимируют легко вычисляемой функцией \varphi(x) и приближенно полагают y^{(k)}(x)\approx\varphi^{(k)}(x). При этом можно использовать различные способы аппроксимации. Рассмотрим простейший случай - аппроксимацию интерполяционным многочленом Ньютона. Вводя обозначение \xi_i=x-x_i, запишем это многочлен и продифференцируем его почленно:

\varphi(x)=y(x_0)+\xi_0 y(x_0,x_1)+\xi_0\xi_1 y(x_0,x_1,x_2) + \xi_0\xi_1\xi_2 y(x_0,x_1,x_2,x_3)+\dots
\varphi'(x)=y(x_0,x_1)+(\xi_0+\xi_1) y(x_0,x_1,x_2) + (\xi_0\xi_1+\xi_0\xi_2 +\xi_1\xi_2) y(x_0,x_1,x_2,x_3)+\dots
\varphi''(x)=2 y(x_0,x_1,x_2) + 2(\xi_0+\xi_1 +\xi_2) y(x_0,x_1,x_2,x_3)+\dots

Общая формула примет следующий вид:

( 1 )
\varphi^{(k)}(x)=k!\left[ y(x_0,x_1,\dots,x_k) + \left( \sum_{i=0}^k \xi_i \right) y(x_0,x_1,\dots,x_{k+1}) + \left( \sum_{i>j\geq 0}^{i=k+1}\xi_i\xi_j\right)y(x_0,x_1,\dots,x_{k+2}) + \left( \sum_{i>j>l\geq 0}^{i=k+2}\xi_i\xi_j\xi_l\right)y(x_0,x_1,\dots,x_{k+3}) +\dots\right]

Обрывая ряд на некотором числе членов, получим приближенное выражение для соответсвующей производной. Наиболее простые выражения получим, оставляя в формуле (1) только первый член:

y'(x)\approx y(x_0,x_1) = \frac{y(x_0)-y(x_1)}{x_0-x_1},
( 2 )
\frac{1}{2}y''(x)\approx y(x_0,x_1,x_2) = \frac{1}{x_0-x_2}\left( \frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}- \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\right),
\frac{1}{k!} y^{(k)}(x) \approx y(x_0,x_1,\dots,x_k) = \sum_{p=0}^{k}y_p \prod_{i=0, i\neq p}^k {(x_p-x_i)}^{-1}

Исследование точности полученных выражений при численных расчетах удобно делать при помощи апостериорной оценки, по скорости убывания членов ряда (1). Если шаг сетки достаточно мал, то погрешность близка к первому отброшенному члену. Пусть мы используем узлы x_i, i=1\dots n. Тогда первый отброшенный член содержит разделенную разность y(x_0,x_1,\dots,x_{n+1}), которая согласно (2) примерно равна y^{(n+1)}(x)/(n+1)!. Перед ней стоит сумма произведений различных множителей \xi_i ; каждое произведение содержит n+1-k множителей, а вся сумма состоит из C_{n+1}^k слагаемых. Отсюда следует оценка погрешности формулы (1) с n+1 узлами:

(3)
R_n^{(k)}\leq\frac{M_{n+1}}{(n+1-k)!}\max_i {|\xi_i|}^{n+1-k}, M_{n+1}=\max{|y^{(n+1)}|}

В частности, если сетка равномерная, то M_{n+1}=\max{|\xi_i|}\leq nh, откуда

(4)
R_n^{(k)}<M_{n+1} {\left( \frac{en}{n+1-k}h \right)}^{n+1-k}=O(h^{n+1-k}) .

Стоит заметить, что строгое априорное исследование погрешности формулы (1), аналогичное выводу остаточного члена многочлена Ньютона в форме Коши, для произвольного расположения узлов приводит к той же оценке (3).

Таким образом, порядок точности формулы (1) по отношению к шагу сетки равен числу оставленных в ней членов, или, что то же самое, он равен числу узлов интерполяции минус порядок производной. Поэтому минимальное число узлов, необходимое для вычисления k-й производной, равно k+1; оно приводит к формулам (2) и обеспечивает первый порядок точности. Эти выводы соответсвуют общему принципу: при почленном дифференцировании рдяа скорость его сходимости уменьшается.

Простейшие формулы

Чаще всего используются равномерные сетки, на которых вид формул (1) заметно упрощается, а точность нередко повышается.

Рассмотрим сначала причину повышения точности. Остаточный член общей формулы (1) - это чногочлен \sum\prod(x-x_i) степени n+1-k относительно x. Если x равен корню этого многочлена, то главный остаточный член обращается в нуль, то есть в этой точке формула имеет порядок точности на еденицу больше, чем согласно оценке (4). Эти точки повышенной точности будем обозначать x_k^{(p)}, где k - порядок производной, а p=n+1-k - число оставленных в формуле (1) членов. Очевидно, p-членная формула имеет p точек повышенноу точности.

У одночленной формулы (2) для k-й производной точка повышенной точности на произвольной сетке определяется учловием \sum \xi_i=\sum(x-x _i)=0, что дает

(5)
x_k^{(1)}=(x_0+x_1+\dots+x_k)/(k+1);

в этой точке одночленная формула имеет погрешность O(h^2) вместо обычной O(h). Для двучленной формулы задача нахождения точек повышенной точности приводит к квадратному уравнению, корни которого действительны, но формула для их нахождения громоздка. Если p>2, то найти точки повышенной точности очень сложно, за исключением одного частного случая, который мы сейчас и рассмотрим.



Числовой пример

Рекомендации программисту

Заключение

Список литературы

  • А.А.Самарский, А.В.Гулин.  Численные методы. Москва «Наука», 1989.
  • Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков.  Численные методы. Лаборатория Базовых Знаний, 2003.
  • Н.Н.Калиткин.  Численные методы. Москва «Наука», 1978.


Источник — «http://www.recognition.su/wiki/index.php?title=%D0%92%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D0%BE_%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9»