Поправка Бонферрони

Материал из MachineLearning.

Версия от 18:50, 3 января 2014; Vokov (Обсуждение | вклад)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск

Поправка Бонферрони — один из методов контроля групповой вероятности ошибки (первого рода), который утверждает, что для достижения уровня \alpha достаточно, чтобы отвергались гипотезы H_i, для которых p_i \le \alpha/m, где m — количество гипотез.

Содержание

Определение

Пусть H_{1},...,H_{m} — семейство гипотез, а p_{1},...,p_{m} — соответствующие им достигаемые уровни значимости. Обозначим за I_{0} неизвестное подмножество истинных нулевых гипотез мощности m_{0}.

Групповая вероятности ошибки, или FWER, — это вероятность отклонения как минимум одной гипотезы из I_{0}, т.е. получения как минимум одной ошибки первого рода. Метод поправки Бонферрони утверждает, что отклонение всех p_{i}<\alpha/m позволяет получить FWER\leq\alpha.

Альтернативная постановка

Можно также перейти к модифицированным уровням значимости \tilde p_i=\operator{min}(1,p_i).

Теоретическое обоснование

Из неравенства Буля следует, что

FWER \:=\: \operator{P}\left(V\geq 1\right) \:\leq\: \operator{P}\left(\bigcup_{i=1}^{m_0} \left\{ \tilde{P}_i \leq \alpha \right\} \right) \:\leq\: \sum_{i=1}^{m_0}\operator{P}\left( \tilde{P}_i \leq \alpha \right) \:\leq\: \sum_{i=1}^{m_0} \alpha/m \:=\: m_0\alpha/m \:\leq\: \alpha,

где V — количество отвергнутых истинных гипотез.

Замечания

При увеличении m в результате применения поправки Бонферрони мощность статистической процедуры резко уменьшается — шансы отклонить неверные гипотезы падают.

Существуют процедуры (например, метод Холма), которые равномерно превосходят по мощности процедуру, основанную на поправке Бонферрони, и не делают никаких дополнительных предположений.

Таким образом, использование поправки Бонферрони нецелесообразно.

Пример

n=20, \;m=200, \;m_0 = 150;

X_{ij} \sim N(0,1), \;i=1,\ldots,m_0, \;j=1,\ldots,n;

X_{ij} \sim N(1,1),\; i=m_0+1,\ldots,m, \;j=1,\ldots,n;

H_i: EX_{ij} = 0, \;H_i': EX_{ij} \ne 0;

для проверки используем одновыоборчный критерий Стьюдента.

Без поправок:

Верных H_i Неверных H_i Всего
Принятых H_i 142 0 142
Отвергнутых H_i 8 50 58
Всего 150 50 200

С поправкой Бонферрони:

Верных H_i Неверных H_i Всего
Принятых H_i 150 27 177
Отвергнутых H_i 0 23 23
Всего 150 50 200

Реализации

  • MATLAB: функция multcompare позволяет проводить множественную проверку гипотез с учетом поправки Бонферрони, но не получать модифицированные уровни значимости.
  • R: функция p.adjust (с параметром method="bonferroni") из стандартного пакета stats позволяет получить модифицированные уровни значимости с учетом поправки Бонферрони.

Ссылки

  • Bonferroni, C. E. "Il calcolo delle assicurazioni su gruppi di teste." In Studi in Onore del Professore Salvatore Ortu Carboni. Rome: Italy, pp. 13-60, 1935.

См. также

Неравенство Бонферрони

Источник — «http://www.recognition.su/wiki/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BA%D0%B0_%D0%91%D0%BE%D0%BD%D1%84%D0%B5%D1%80%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%B8»