Участник:Василий Ломакин/Критерий Уилкоксона для связных выборок

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
-
'''Критерий Уилкоксона для связных выборок''' — [[непараметрический статистический критерий]]. Аналог t-критерия для парных наблюдений в случае закона распределения, отличного от нормального, либо данных в нечисловой шкале. Применяется для связанных пар наблюдений.
+
'''Критерий Уилкоксона для связных выборок''' — [[непараметрический статистический критерий]], применяющийся для связанных пар наблюдений. Наиболее часто используется для проверки гипотезы о равенстве средних в двух зависимых выборках. Является аналогом соответствующего [[Критерий_Стьюдента|t-критерия Стьюдента для парных наблюдений]] в случае закона распределения, отличного от нормального, либо для данных в нечисловой шкале.
== Пример задачи ==
== Пример задачи ==
Строка 9: Строка 9:
'''Дополнительные предположения:'''
'''Дополнительные предположения:'''
-
* связанные выборки
+
* простые выборки ????
-
* ещё что-то
+
* выборки связные, то есть элементы <tex>x_i,\: y_i</tex> соответствуют одному и тому же объекту, но измерения сделаны в разные моменты (например, до и после обработки).
'''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\; \mathbb{P} \{x_i-y_i < 0 \} = 1/2</tex>.
'''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\; \mathbb{P} \{x_i-y_i < 0 \} = 1/2</tex>.
Строка 28: Строка 28:
Рассмотрим нормированную и центрированную статистика Уилкоксона:
Рассмотрим нормированную и центрированную статистика Уилкоксона:
-
: <tex>T = \frac{R - \frac{N(N+1)}{4}}{\sqrt{\frac{N(N+1)(2N+1)}{24}}}</tex>;
+
<tex>T = \frac{R - \frac{N(N+1)}{4}}{\sqrt{\frac{N(N+1)(2N+1)}{24}}}</tex>;
-
:<tex>T</tex> асимптотически имеет стандартное нормальное распределение при <tex>N \ge 20</tex>
+
<tex>T</tex> асимптотически имеет стандартное нормальное распределение при <tex>N \ge 20</tex>
-
:При наличии связок необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение под корнем в знаменателе необходимо заменить на следующее:
+
При наличии связок необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение под корнем в знаменателе необходимо заменить на следующее:
-
:<tex>\frac{N(N+1)(2N+1) - \frac{\sum_{j=1}^{g}{t_j(t_j-1)(t_j+1)}}{2}}{24},</tex>
+
<tex>\frac{N(N+1)(2N+1) - \frac{\sum_{j=1}^{g}{t_j(t_j-1)(t_j+1)}}{2}}{24},</tex>
-
:где <tex>g</tex> - количество связок, <tex>t_1, \ldots, t_g</tex> - их размеры.
+
где <tex>g</tex> - количество связок, <tex>t_1, \ldots, t_g</tex> - их размеры.
'''Другие гипотезы''':
'''Другие гипотезы''':
 +
<tex>H_0:\; </tex> средняя разница между значениями пар двух выборок равна заданной константе A.
<tex>H_0:\; </tex> средняя разница между значениями пар двух выборок равна заданной константе A.
 +
<tex>H_1:\; </tex> средняя разница не равна A.
<tex>H_1:\; </tex> средняя разница не равна A.

Версия 18:36, 11 декабря 2009

Критерий Уилкоксона для связных выборок — непараметрический статистический критерий, применяющийся для связанных пар наблюдений. Наиболее часто используется для проверки гипотезы о равенстве средних в двух зависимых выборках. Является аналогом соответствующего t-критерия Стьюдента для парных наблюдений в случае закона распределения, отличного от нормального, либо для данных в нечисловой шкале.

Содержание

Пример задачи

Описание критерия

Заданы две выборки x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}.

Дополнительные предположения:

  • простые выборки ????
  • выборки связные, то есть элементы x_i,\: y_i соответствуют одному и тому же объекту, но измерения сделаны в разные моменты (например, до и после обработки).

Нулевая гипотеза H_0:\; \mathbb{P} \{x_i-y_i < 0 \} = 1/2.

Статистика критерия:

  1. Рассчитать значения разностей пар двух выборок. Нулевые разности далее не учитываются. N - количество ненулевых разностей.
  2. Проранжировать модули разностей пар в возрастающем порядке.
  3. Приписать рангам знаки соответствующих им разностей.
  4. Рассчитать сумму R положительных рангов.

Критерий (при уровне значимости \alpha):

Против альтернативы H_1:\; \mathbb{P} \{ x_i-y_i \} \neq 1/2:

если R больше табличного значения критерия знаковых рангов Уилкоксона T^{+} с уровнем значимости \alpha/2 и числом степеней свободы N, то нулевая гипотеза отвергается.

Асимптотический критерий:

Рассмотрим нормированную и центрированную статистика Уилкоксона: T = \frac{R - \frac{N(N+1)}{4}}{\sqrt{\frac{N(N+1)(2N+1)}{24}}}; T асимптотически имеет стандартное нормальное распределение при N \ge 20

При наличии связок необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение под корнем в знаменателе необходимо заменить на следующее:

\frac{N(N+1)(2N+1) - \frac{\sum_{j=1}^{g}{t_j(t_j-1)(t_j+1)}}{2}}{24}, где g - количество связок, t_1, \ldots, t_g - их размеры.

Другие гипотезы:

H_0:\; средняя разница между значениями пар двух выборок равна заданной константе A.

H_1:\; средняя разница не равна A.

В этом случае из каждой разности вычитается значение A, и дальнейшая обработка выполняется по описанной схеме.


Свойства и границы применимости критерия

Литература

  1. Лапач С. Н., Чубенко А. В., Бабич П. Н. Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. — 164-166 с.
  2. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 457-458 с.

Ссылки

Источник — «http://www.recognition.su/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:%D0%92%D0%B0%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%B9_%D0%9B%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D0%BA%D0%B8%D0%BD/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%A3%D0%B8%D0%BB%D0%BA%D0%BE%D0%BA%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%BA»