Критерий Фридмана

(Различия между версиями)

Версия 13:42, 5 января 2009

Критерий Фридмана является непараметрическим критерием, предназначенным для проверки однородности статистических даннных.

Дано $kn$ наблюдений $x_{ij}$ , где $1 \le i \le n, 1 \le j \le k,$ . Через $H_0$ обозначим гипотезу о равенстве средних для каждой из $k$ групп:

$\bar{x_1}=\dots=\bar{x_k}$ .

Для каждого $i$ , где $1 \le i \le n$ , упорядочим последовательность

$x_{i1}, x_{i2}, \dots, x_{ik}$ .

Ранг элемента $x_{ij}$ внутри такой последовательности обозначим через $r_{ij}$ . Оченвидно,

$1 \le r_{ij} \le k$ .

Статистика критерия имеет вид

$S = \frac{12n}{k(k+1)}\sum_{j=1}^k(\frac1n \sum_{i=1}^n r_{ij} - \frac{k+1}2)$ .

Гипотеза $H_0$ принимается, если $S < S_\alpha(n, k)$ . Критические значения $S_\alpha(n, k)$ находятся при помощи интерполяции табличных данных.

При $n \ge 13, k \ge 20$ применима аппроксимация

$S_\alpha(n, k) = \chi^2_\alpha(k-1)$ .

Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.
Friedman, Milton (December 1937). "The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance". Journal of the American Statistical Association 32 (200): 675–701.

@@ Строка 2: / Строка 2: @@
 ==Описание критерия==
+Дано <tex>kn</tex> наблюдений <tex>x_{ij}</tex>, где <tex>1 \le i \le n, 1 \le j \le k, </tex>.
+Через <tex>H_0</tex> обозначим гипотезу о равенстве средних для каждой из <tex>k</tex> групп:
+::<tex>\bar{x_1}=\dots=\bar{x_k}</tex>.
+Для каждого <tex>i</tex>, где <tex>1 \le i \le n</tex>, упорядочим последовательность
+::<tex>x_{i1}, x_{i2}, \dots, x_{ik}</tex>.
+Ранг элемента <tex>x_{ij}</tex> внутри такой последовательности обозначим через <tex>r_{ij}</tex>.
+Оченвидно,
+::<tex>1 \le r_{ij} \le k</tex>.
+Статистика критерия имеет вид
+::<tex>S = \frac{12n}{k(k+1)}\sum_{j=1}^k(\frac1n \sum_{i=1}^n r_{ij} - \frac{k+1}2)</tex>.
+Гипотеза <tex>H_0</tex> принимается, если <tex>S < S_\alpha(n, k)</tex>.
+Критические значения <tex>S_\alpha(n, k)</tex> находятся при помощи интерполяции табличных данных.
+При <tex>n \ge 13, k \ge 20</tex> применима аппроксимация
+::<tex>S_\alpha(n, k) = \chi^2_\alpha(k-1)</tex>.
 ==Литература==