ARIMA
Материал из MachineLearning.
м (викификация) |
м (формулы) |
||
| Строка 5: | Строка 5: | ||
Пусть задан временной ряд <tex>X_t</tex>, где <i>t</i> — целый индекс и <tex>X_t</tex> — вещественные числа. | Пусть задан временной ряд <tex>X_t</tex>, где <i>t</i> — целый индекс и <tex>X_t</tex> — вещественные числа. | ||
Тогда модель ARMA(<i>p,q</i>) задаётся следующем образом: <br /> | Тогда модель ARMA(<i>p,q</i>) задаётся следующем образом: <br /> | ||
| - | ::<tex>\left(1-\sum_{i=1}^p \phi_i L^i\right) X_t = \left(1+\sum_{i=1}^q \ | + | ::<tex>\left(1-\sum_{i=1}^p \phi_i L^i\right) X_t = \left(1+\sum_{i=1}^q \theta_i L^i\right) \epsilon_t</tex>, <br /> |
| - | где <i>L</i> — оператор задержки, <tex>\phi_i</tex> — параметры авторегрессионной части модели, <tex>\ | + | где <i>L</i> — оператор задержки, <tex>\phi_i</tex> — параметры авторегрессионной части модели, <tex>\theta_i</tex> — параметры скользящего среднего, а <tex>\epsilon_t</tex> — значения ошибки. Обычно предполагают, что ошибки <tex>\epsilon_t</tex> являются независимыми одинаково распределёнными случайными величинами из нормального распределения с нулевым средним. |
ARIMA(<i>p,d,q</i>) получается интегрированием ARMA(<i>p,q</i>). | ARIMA(<i>p,d,q</i>) получается интегрированием ARMA(<i>p,q</i>). | ||
| - | ::<tex>\left(1-\sum_{i=1}^p \phi_i L^i\right) (1-L)^d X_t = \left(1+\sum_{i=1}^q \ | + | ::<tex>\left(1-\sum_{i=1}^p \phi_i L^i\right) (1-L)^d X_t = \left(1+\sum_{i=1}^q \theta_i L^i\right) \epsilon_t</tex>, <br /> |
где <i>d</i> — положительное целое, задающее уровень дифференцирования (если <i>d</i>=0, эта модель эквивалентна авторегрессионному скользящему среднему). | где <i>d</i> — положительное целое, задающее уровень дифференцирования (если <i>d</i>=0, эта модель эквивалентна авторегрессионному скользящему среднему). | ||
И наоборот, применяя почленное дифференцирование <i>d</i> раз к модели ARMA(<i>p,q</i>), получим модель ARIMA(<i>p,d,q</i>). | И наоборот, применяя почленное дифференцирование <i>d</i> раз к модели ARMA(<i>p,q</i>), получим модель ARIMA(<i>p,d,q</i>). | ||
Версия 15:20, 8 декабря 2008
Авторегрессионное интегрированное скользящее среднее (autoregressive integrated moving average, ARIMA) является обобщением модели авторегрессионного скользящего среднего. Эти модели используются при работе с временными рядами для более глубокого понимания данных или предсказания будущих точек ряда. Обычно модель упоминается, как ARIMA(p,d,q), где p,d и q — целые неотрицательные числа, характеризующие порядок для частей модели (соответственно авторегрессионной, интегрированной и скользящего среднего).
Пусть задан временной ряд , где t — целый индекс и
— вещественные числа.
Тогда модель ARMA(p,q) задаётся следующем образом:
,
где L — оператор задержки, — параметры авторегрессионной части модели,
— параметры скользящего среднего, а
— значения ошибки. Обычно предполагают, что ошибки
являются независимыми одинаково распределёнными случайными величинами из нормального распределения с нулевым средним.
ARIMA(p,d,q) получается интегрированием ARMA(p,q).
,
где d — положительное целое, задающее уровень дифференцирования (если d=0, эта модель эквивалентна авторегрессионному скользящему среднему). И наоборот, применяя почленное дифференцирование d раз к модели ARMA(p,q), получим модель ARIMA(p,d,q). Заметим, что дифференцировать надо только авторегрессионную часть.
Важно отметить, что не все сочетания параметров дают «хорошую» модель. В частности, чтобы получить стационарную модель требуется выполнение некоторых условий.
Существует несколько известных частных случаев модели ARIMA.
Например, ARIMA(0,1,0), задающая
,
является моделью случайных блужданий.
Используется большое количество вариаций модели ARIMA.
Например, если исследуются несколько рядов, то можно трактовать как векторы.
Тогда мы приходим к модели VARIMA.
Иногда в модели может иметься сезонный фактор.
Примером может послужить модель объёма трафика за день.
На выходных поведение ряда будет заметно отличаться от рабочих дней.
В этом случае вместо того, чтобы наращивать порядки скользящего среднего и авторегрессионной части модели, лучше прибегнуть к модели сезонного авторегрессионного скользящего среднего (SARIMA).
Если имеется некоторая долгосрочная зависимость, параметр d может быть заменён нецелыми значениями, приводя к авторегрессионному дробноинтегрированному процессу скользящего среднего (FARIMA или ARFIMA).
