Биномиальное распределение двух случайных величин

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск

Vitsemgol (Обсуждение | вклад)
(Новая: Биномиальное распределение &mdash; это распределение двух случайных величин <tex>X_1</tex> и <tex>X_2</tex> в дискре...)
К следующему изменению →

Версия 09:21, 28 октября 2013

Биномиальное распределение — это распределение двух случайных величин X_1 и X_2 в дискретной временной последовательности t_1,t_2, первая случайная величина независимая, а вторая случайная величина зависима от первой, числовые значения случайных величин n_1 и n_2 это числа успехов в n испытаниях ( n_1+n_2=n ) с постоянными вероятностями успехов ( Бернулли распределений) p_1 и p_2, пронормированных p_1+p_2=1 согласно аксиоматике Колмогорова .

Пространство элементарных событий \sum_{i=1}^2\Omega_i(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})
Вероятность \prod_{i=1}^2P(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! n_2!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}
Максимальная вероятность

(при математическом ожидании распределения)

\left(\frac{n!}{n_i!n_2!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}\right)_{max}= \frac{1}{2}
Математическое ожидание

(как максимальное произведение математических ожиданий случайных величин)

\left(\prod_{i=1}^2E(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1})\right)_{max}=\frac{1}{2}
Дисперсия \sum_{i=1}^2D(t_i,X_i \mid t_{i-1},X_{i-1})=\sum_{i=1}^2(n-n_{i-1})p_iq_i
Максимальная дисперсия

(при математическом ожидании распределения)

D(X_1,X_2|X_1)_{max}=\left(\sum_{i-1}^2(n-n_{i-1})p_iq_i \right)_{max}=\frac{3}{4}
Ковариационная матрица B=\| b_{ij} \|, где

\rho _{ij} = \begin{cases} 1, & i=j,\\ 0, & i \not= j \end{cases}

Корреляционная матрица \Rho=\| \rho_{ij} \|, где

\rho _{ij} = \begin{cases} 1, & i=j,\\ 0, & i \not= j \end{cases}

\chi^2 - критерий \chi^2=\sum_{i=1}^2 [X_i-(n -n_{i-1})p_i^{(0)}]^2/(n -n_{i-1})p_i^{(0)}=

=-n+\sum_{i=1}^2X_i^2 /(n-n_{i-1})p_i^{(0)}

Таблица – Характеристики биномиального распределения двух случайных величин

Биномиальное распределение появляется в так называемой биномиальной схеме повторных циклов случайных зависимых экспериментов.

Технические задачи и технические результаты

Для получения биномиального распределения необходимо решить две технические задачи и получить технические результаты, относящиеся к математической физике [1,2][1] ,[1]. Первая и вторая технические задачи — соответственно получение вероятности и получение математического ожидания биномиального распределения.

Технические результаты — набор технических параметров, с одной стороны, минимально необходимый для описания биномиального распределения и его случайных величин, с другой стороны, позволяющий при необходимости расширить число параметров с целью получения дополнительных сведений о распределении, например, таких как корреляционная матрица, ковариационная матрица , χ2 критерий и другие.

Минимально необходимый набор параметров при решении первой технической задачи: пространство элементарных событий, вероятность, математическое ожидание и дисперсия каждой случайной величины распределения, дисперсия распределения и произведение математических ожиданий его случайных величин как исходное выражение для решения второй технической задачи.

При решении второй технической задачи минимально необходимый набор параметров аналогичен предыдущему набору. Исключен из-за ненадобности один параметр — произведение математических ожиданий случайных величин и дополнен двумя параметрами — максимальной вероятностью и максимальной дисперсией биномиального распределения, совпадающей с математическим ожиданием биномиального распределения. Технические результаты — набор технических параметров, с одной стороны, минимально необходимый для описания биномиального распределения и его случайных величин, с другой стороны, позволяющий при необходимости расширить число параметров с целью получения дополнительных сведений о распределении, например, таких как корреляционная матрица, ковариационная матрица и другие.

При решении второй технической задачи минимально необходимый набор параметров аналогичен предыдущему набору. Исключен из-за ненадобности один параметр — произведение математических ожиданий случайных величин и дополнен двумя параметрами — максимальной вероятностью и максимальной дисперсией биномиального распределения, совпадающей с математическим ожиданием биномиального распределения.


Литература

Источник — «http://www.recognition.su/wiki/index.php?title=%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD»