Регрессионная модель
Материал из MachineLearning.
м (категория) |
|||
| Строка 9: | Строка 9: | ||
Так как регрессионный анализ предполагает поиск зависимости матожидания случайной величины от свободных переменных | Так как регрессионный анализ предполагает поиск зависимости матожидания случайной величины от свободных переменных | ||
| - | <tex>E(y|\mathbf{x})=f(\mathbf{x})</tex>, то в | + | <tex>E(y|\mathbf{x})=f(\mathbf{x})</tex>, то в ее состав входит аддитивная случайная величина <tex>\varepsilon</tex>: |
<center><tex>y=f(\mathbf{w},\mathbf{x})+\varepsilon.</tex></center> | <center><tex>y=f(\mathbf{w},\mathbf{x})+\varepsilon.</tex></center> | ||
| Строка 15: | Строка 15: | ||
Эта гипотеза играет центральную роль в выборе критерия оценки качества модели и, как следствие, в способе настройки параметров модели. | Эта гипотеза играет центральную роль в выборе критерия оценки качества модели и, как следствие, в способе настройки параметров модели. | ||
| - | Модель является настроенной (обученной) когда зафиксированы | + | Модель является настроенной (обученной) когда зафиксированы ее параметры, то есть модель задает отображение |
<center><tex>f:X\longrightarrow Y</tex></center> | <center><tex>f:X\longrightarrow Y</tex></center> | ||
для фиксированного значения <tex>\bar{\mathbf{w}}</tex>. | для фиксированного значения <tex>\bar{\mathbf{w}}</tex>. | ||
| Строка 22: | Строка 22: | ||
Математическая модель предполагает участие аналитика в конструировании функции, которая описывает некоторую известную закономерность. | Математическая модель предполагает участие аналитика в конструировании функции, которая описывает некоторую известную закономерность. | ||
Математическая модель является интерпретируемой — объясняемой в рамках исследуемой закономерности. | Математическая модель является интерпретируемой — объясняемой в рамках исследуемой закономерности. | ||
| - | При построении математической модели сначала | + | При построении математической модели сначала создается параметрическое семейство функций, затем с помощью измеряемых данных выполняется ''идентификация модели'' — нахождение ее параметров. |
Известная функциональная зависимость объясняющей переменной и переменной отклика — основное отличие математического моделирования от регрессионного анализа. | Известная функциональная зависимость объясняющей переменной и переменной отклика — основное отличие математического моделирования от регрессионного анализа. | ||
Недостаток математического моделирования состоит в том, что измеряемые данные используются для верификации, но не для построения модели, вследствие чего можно получить неадекватную модель. | Недостаток математического моделирования состоит в том, что измеряемые данные используются для верификации, но не для построения модели, вследствие чего можно получить неадекватную модель. | ||
| Строка 31: | Строка 31: | ||
Такая модель часто неинтерпретируема, но более точна. | Такая модель часто неинтерпретируема, но более точна. | ||
Это объясняется либо большим числом моделей-претендентов, которые используются для построения оптимальной модели, либо большой сложностью модели. | Это объясняется либо большим числом моделей-претендентов, которые используются для построения оптимальной модели, либо большой сложностью модели. | ||
| - | Нахождение параметров | + | Нахождение параметров регрессионной модели называется ''обучением модели''. |
Недостатки регрессионного анализа: модели, имеющие слишком малую сложность, могут оказаться неточными, а модели, имеющие избыточную сложность, могут оказаться ''[[переобучение|переобученными]]''. | Недостатки регрессионного анализа: модели, имеющие слишком малую сложность, могут оказаться неточными, а модели, имеющие избыточную сложность, могут оказаться ''[[переобучение|переобученными]]''. | ||
| Строка 37: | Строка 37: | ||
Примеры регрессионных моделей: линейные функции, алгебраические полиномы, ряды Чебышёва, нейронные сети без обратной связи, например, однослойный персептрон Розенблатта, радиальные базисные функции и прочее. | Примеры регрессионных моделей: линейные функции, алгебраические полиномы, ряды Чебышёва, нейронные сети без обратной связи, например, однослойный персептрон Розенблатта, радиальные базисные функции и прочее. | ||
| - | И регрессионная, и математическая модель | + | И регрессионная, и математическая модель, как правило, задают непрерывное отображение. |
Требование непрерывности обусловлено классом решаемых задач: чаще всего это описание физических, химических и других явлений, | Требование непрерывности обусловлено классом решаемых задач: чаще всего это описание физических, химических и других явлений, | ||
где требование непрерывности выставляется естественным образом. | где требование непрерывности выставляется естественным образом. | ||
Версия 17:48, 4 мая 2008
Термину регрессионная модель, используемому в регрессионном анализе, можно сопоставить синонимы: «теория», «гипотеза». Эти термины пришли из статистики, в частности из раздела «проверка статистических гипотез». Регрессионная модель есть прежде всего гипотеза, которая должна быть подвергнута статистической проверке, после чего она принимается или отвергается.
Регрессионная модель — это параметрическое семейство функций, задающее отображение
где — пространтсво параметров,
— пространство свободных переменных,
— пространство зависимых переменных.
Так как регрессионный анализ предполагает поиск зависимости матожидания случайной величины от свободных переменных
, то в ее состав входит аддитивная случайная величина
:
Предположение о характере распределения случайной величины называются гипотезой порождения данных.
Эта гипотеза играет центральную роль в выборе критерия оценки качества модели и, как следствие, в способе настройки параметров модели.
Модель является настроенной (обученной) когда зафиксированы ее параметры, то есть модель задает отображение
для фиксированного значения .
Различают математическую модель и регрессионную модель. Математическая модель предполагает участие аналитика в конструировании функции, которая описывает некоторую известную закономерность. Математическая модель является интерпретируемой — объясняемой в рамках исследуемой закономерности. При построении математической модели сначала создается параметрическое семейство функций, затем с помощью измеряемых данных выполняется идентификация модели — нахождение ее параметров. Известная функциональная зависимость объясняющей переменной и переменной отклика — основное отличие математического моделирования от регрессионного анализа. Недостаток математического моделирования состоит в том, что измеряемые данные используются для верификации, но не для построения модели, вследствие чего можно получить неадекватную модель. Также затруднительно получить модель сложного явления, в котором взаимосвязано большое число различных факторов.
Регрессионная модель объединяет широкий класс универсальных функций, которые описывают некоторую закономерность. При этом для построения модели в основном используются измеряемые данные, а не знание свойств исследуемой закономерности. Такая модель часто неинтерпретируема, но более точна. Это объясняется либо большим числом моделей-претендентов, которые используются для построения оптимальной модели, либо большой сложностью модели. Нахождение параметров регрессионной модели называется обучением модели.
Недостатки регрессионного анализа: модели, имеющие слишком малую сложность, могут оказаться неточными, а модели, имеющие избыточную сложность, могут оказаться переобученными.
Примеры регрессионных моделей: линейные функции, алгебраические полиномы, ряды Чебышёва, нейронные сети без обратной связи, например, однослойный персептрон Розенблатта, радиальные базисные функции и прочее.
И регрессионная, и математическая модель, как правило, задают непрерывное отображение.
Требование непрерывности обусловлено классом решаемых задач: чаще всего это описание физических, химических и других явлений,
где требование непрерывности выставляется естественным образом.
Иногда на отображение накладываться ограничения монотонности, гладкости, измеримости, и некоторые другие.
Теоретически, никто не запрещает работать с функциями произвольного вида, и допускать в моделях существование не только точек разрыва, но и задавать конечное,
неупорядоченное множество значений свободной переменной, то есть, превращать задачи регрессии в задачи классификации.
При решении задач регрессионного анализа встают следующие вопросы.
- Как выбрать тип и структуру модели, какому именно семейству она должна принадлежать?
- Какова гипотеза порождения данных, каково распределение случайной переменной?
- Какой целевой функцией оценить качество аппроксимации?
- Каким способом отыскать параметры модели, каков должен быть алгоритм оптимизации параметров?
Смотри также
Литература
- Bishop, C. Pattern Recognition And Machine Learning. Springer. 2006.
- MacKay, D. Information, inference, learning algorithms. Cambridge University Press. 2003.
- Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Издательский дом «Вильямс». 2007.
- Nabney, Yan T., Netlab: Algorithms for pattern recognition. Springer. 2004.
- Lehmann, E. L., Romano, J. P. Testing Statistical Hypotheses. Springer. 2005.
- Burnham, K., Anderson, D. R. Model Selection and Multimodel Inference. Springer. 2002.
- Grunwald, P D., Myung, I. J. (eds.) Advances In Minimum Description Length: Theory And Applications. Springer. 2005.
