Материал из MachineLearning.
(Различия между версиями)
|
м |
| Строка 3: |
Строка 3: |
| | Пусть <tex>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</tex> - [[вероятностное пространство]] с определёнными на нём случайными величинами <tex>X,\; X_n\;(n=1,2,\ldots)</tex>. | | Пусть <tex>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</tex> - [[вероятностное пространство]] с определёнными на нём случайными величинами <tex>X,\; X_n\;(n=1,2,\ldots)</tex>. |
| | | | |
| - | Говорят, что <tex>\{X_n\}_{n=1}^{\infty}</tex> '''сходится по вероятности''' к <tex>X</tex>, если | + | Говорят, что <tex>\{X_n\}_{n=1}^{\infty}</tex> '''сходится по вероятности''' к <tex>X</tex>, если <tex>\forall \varepsilon > 0</tex>: |
| - | : <tex>\forall \varepsilon > 0,\; \lim\limits_{n \to \infty} \mathbb{P}(|X_n - X| > \varepsilon) = 0</tex>.
| + | <center><tex>\lim\limits_{n \to \infty} \mathbb{P}(|X_n - X| > \varepsilon) = 0</tex>.</center> |
| | | | |
| | '''Обозначение''': <tex>X_n \stackrel{\mathbb{P}}{\longrightarrow} X</tex>. | | '''Обозначение''': <tex>X_n \stackrel{\mathbb{P}}{\longrightarrow} X</tex>. |
Версия 16:03, 6 ноября 2009
Определение
Пусть )
- вероятностное пространство с определёнными на нём случайными величинами )
.
Говорят, что 
сходится по вероятности к 
, если 
:
 = 0)
.
Обозначение: 
.
Пояснение и пример
Данное свойство означает, что если взять величину 
с достаточно большим номером, то вероятность значительного отклонения от предельной величины будет небольшой. Однако важно понимать, что если одновременно (т.е. для одного и того же элементарного исхода 
) рассмотреть последовательность \})
, то она не обязана сходиться к значению )
, вообще говоря, ни при каком . Т.е. сколь угодно далеко могут находиться сильно отклоняющиеся значения, просто их "не очень много", поэтому вероятность того, что такое сильное отклонение попадет в заданном эксперименте на конкретно заданный номер 
, мала.
В качестве примера рассмотрим вероятностное пространство ![\Omega = [0,1]](../mimetex/?\Omega = [0,1])
, вероятность - мера Лебега (т.е. вероятность любого интервала равна его длине). Случайные величины зададим следующим образом: для первых двух 
разбиваем 
на два интервала )
и ![(\frac{1}{2},1]](../mimetex/?(\frac{1}{2},1])
и определяем 
равной 1 на первом интервале и 0 на втором, а 
- наоборот, 0 на первом интервале и 1 на втором. Далее берем следующие четыре величины 
, делим на четыре непересекающихся интервала длины 
и задаем каждую величину равной 1 на своем интервале и 0 на остальных. Затем рассматриваем следующие 8 величин, делим на 8 интервалов и т.д.
В результате для каждого элементарного исхода последовательность значений имеет вид:
\}=(\underbrace{1,0},\underbrace{0,0,1,0},\underbrace{0,0,0,0,0,1,0,0},\ldots))
:
последовательность состоит из серий длин 
, причем в каждой серии на каком-либо одном месте (зависящем от выбранного элементарного исхода) стоит значение 1, а на остальных местах - нули.
... to be continued...
Литература
- Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. — пер. с англ. — М.: Наука, 1977.
- Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004.
