Случайная величина
Материал из MachineLearning.
(→Определение: уточнение) |
|||
| Строка 6: | Строка 6: | ||
Случайная величина <tex>X</tex> индуцирует (порождает) новое вероятностное пространство <tex>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),P_X)</tex> с мерой <tex>P_X(B)=P(X^{-1}(B))</tex>, | Случайная величина <tex>X</tex> индуцирует (порождает) новое вероятностное пространство <tex>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}),P_X)</tex> с мерой <tex>P_X(B)=P(X^{-1}(B))</tex>, | ||
| - | которая называется распределением вероятностей <tex>X</tex>. При исследовании одной только случайной величины иногда сразу задают это пространство и не вводят саму величину как отображение (хотя это всегда можно сделать, взяв тождественное отображение числовой прямой на себя). | + | которая называется распределением вероятностей <tex>X</tex>. При исследовании одной только случайной величины иногда сразу задают это пространство и не вводят саму величину как отображение (хотя это всегда можно сделать, взяв тождественное отображение числовой прямой на себя). Вероятность <tex>P_X(B)</tex> также обозначают <tex>P(X\in B)</tex>. |
В практических приложениях наиболее часто используются два типа случайных величин: ''дискретные'' и ''абсолютно непрерывные'', хотя, разумеется, существуют случайные величины, не относящиеся ни к одному из этих классов. | В практических приложениях наиболее часто используются два типа случайных величин: ''дискретные'' и ''абсолютно непрерывные'', хотя, разумеется, существуют случайные величины, не относящиеся ни к одному из этих классов. | ||
Версия 16:54, 2 ноября 2009
Определение
Пусть задано вероятностное пространство . Случайной величиной, заданной на этом пространстве, называется числовая функция
, которая ставит в соответствие каждому элементарному исходу
число
- значение случайной величины на этом исходе. Данная функция должна быть
-измеримой (где
- борелевская сигма-алгебра на прямой), т.е. для любого борелевского множества
его полный прообраз при отображении
должен быть событием:
.
Случайная величина может быть интерпретирована как некоторое измерение, в результате которого при каждой реализации случайного опыта мы получаем некоторое число.
Случайная величина индуцирует (порождает) новое вероятностное пространство
с мерой
,
которая называется распределением вероятностей
. При исследовании одной только случайной величины иногда сразу задают это пространство и не вводят саму величину как отображение (хотя это всегда можно сделать, взяв тождественное отображение числовой прямой на себя). Вероятность
также обозначают
.
В практических приложениях наиболее часто используются два типа случайных величин: дискретные и абсолютно непрерывные, хотя, разумеется, существуют случайные величины, не относящиеся ни к одному из этих классов.
