Моменты случайной величины

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Новая: '''Моме́нт случа́йной величины́''' — числовая характеристика распределения д...)
Строка 1: Строка 1:
-
'''Моме́нт случа́йной величины́''' — числовая характеристика [[Функция распределения|распределения]] данной [[Случайная величина|случайной величины]].
+
'''Моме?нт случа?йной величины?''' — числовая характеристика [[Функция распределения|распределения]] данной [[Случайная величина|случайной величины]].
== Определения ==
== Определения ==
-
Если дана случайная величина <math>\displaystyle X,</math> определённая на некотором [[Вероятностное пространство|вероятностном пространстве]], то:
+
Если дана случайная величина <tex>\displaystyle X,</tex> определённая на некотором [[Вероятностное пространство|вероятностном пространстве]], то:
-
* <math>\displaystyle k</math>-м '''нача́льным''' моментом случайной величины <math>\displaystyle X,</math> где <math>k \in \mathbb{N},</math> называется величина
+
* <tex>\displaystyle k</tex>-м '''нача?льным''' моментом случайной величины <tex>\displaystyle X,</tex> где <tex>k \in \texbb{N},</tex> называется величина
-
:: <math>\nu_k = \mathbb{E}\left[X^k\right],</math>
+
:: <tex>\nu_k = \texbb{E}\left[X^k\right],</tex>
-
: если [[математическое ожидание]] <math>\mathbb{E}[*]</math> в правой части этого равенства определено;
+
: если [[математическое ожидание]] <tex>\texbb{E}[*]</tex> в правой части этого равенства определено;
-
* <math>\displaystyle k</math>-м '''центра́льным''' моментом случайной величины <math>\displaystyle X</math> называется величина
+
* <tex>\displaystyle k</tex>-м '''центра?льным''' моментом случайной величины <tex>\displaystyle X</tex> называется величина
-
:: <math>\mu_k = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}X)^k\right],</math>
+
:: <tex>\mu_k = \texbb{E}\left[(X - \texbb{E}X)^k\right],</tex>
-
* <math>\displaystyle k</math>-м '''факториальным''' моментом случайной величины <math>\displaystyle X</math> называется величина
+
* <tex>\displaystyle k</tex>-м '''факториальным''' моментом случайной величины <tex>\displaystyle X</tex> называется величина
-
:: <math>\mu_k = \mathbb{E}\left[X(X-1)...(X-k+1)\right],</math>
+
:: <tex>\mu_k = \texbb{E}\left[X(X-1)...(X-k+1)\right],</tex>
: если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.
: если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.
Строка 18: Строка 18:
== Замечания ==
== Замечания ==
-
* Если определены моменты <math>\displaystyle k</math>-го порядка, то определены и все моменты низших порядков <math>1 \le k' < k.</math>
+
* Если определены моменты <tex>\displaystyle k</tex>-го порядка, то определены и все моменты низших порядков <tex>1 \le k' < k.</tex>
* В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные, и наоборот. Например:
* В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные, и наоборот. Например:
-
: <math>\displaystyle \mu_1 = 0,</math>
+
: <tex>\displaystyle \mu_1 = 0,</tex>
-
: <math>\displaystyle \mu_2 = \nu_2-\nu_1^2,</math>
+
: <tex>\displaystyle \mu_2 = \nu_2-\nu_1^2,</tex>
-
: <math>\displaystyle \mu_3 = \nu_3-3\nu_1 \nu_2 + 2 \nu_1^3,</math>
+
: <tex>\displaystyle \mu_3 = \nu_3-3\nu_1 \nu_2 + 2 \nu_1^3,</tex>
-
: <math>\displaystyle \mu_4 = \nu_4 - 4 \nu_1 \nu_3 + 6 \nu_1^2 \nu_2 - 3 \nu_1^4,</math> и т. д.
+
: <tex>\displaystyle \mu_4 = \nu_4 - 4 \nu_1 \nu_3 + 6 \nu_1^2 \nu_2 - 3 \nu_1^4,</tex> и т. д.
== Геометрический смысл некоторых моментов ==
== Геометрический смысл некоторых моментов ==
-
* <math>\displaystyle \nu_1</math> равняется [[математическое ожидание|математическому ожиданию]] случайной величины и показывает относительное расположение распределения на числовой прямой.
+
* <tex>\displaystyle \nu_1</tex> равняется [[математическое ожидание|математическому ожиданию]] случайной величины и показывает относительное расположение распределения на числовой прямой.
-
* <math>\displaystyle \mu_2</math> равняется [[Дисперсия случайной величины|дисперсии]] распределения <math>\displaystyle (\mu_2=\sigma^2)</math> и показывает разброс распределения вокруг среднего значения.
+
* <tex>\displaystyle \mu_2</tex> равняется [[Дисперсия случайной величины|дисперсии]] распределения <tex>\displaystyle (\mu_2=\sigma^2)</tex> и показывает разброс распределения вокруг среднего значения.
-
* <math>\displaystyle \mu_3</math>, будучи соответствующим образом нормализован, является числовой характеристикой симметрии распределения. Более точно, выражение
+
* <tex>\displaystyle \mu_3</tex>, будучи соответствующим образом нормализован, является числовой характеристикой симметрии распределения. Более точно, выражение
-
:: <math>\frac{\mu_3}{\sigma^3}</math>
+
:: <tex>\frac{\mu_3}{\sigma^3}</tex>
: называется [[Коэффициент асимметрии|коэффициентом асимметрии]].
: называется [[Коэффициент асимметрии|коэффициентом асимметрии]].
-
* <math>\displaystyle \mu_4</math> контролирует, насколько ярко выражена вершина распределения в окрестности среднего. Величина
+
* <tex>\displaystyle \mu_4</tex> контролирует, насколько ярко выражена вершина распределения в окрестности среднего. Величина
-
:: <math>\frac{\mu_4}{\sigma^4}-3</math>
+
:: <tex>\frac{\mu_4}{\sigma^4}-3</tex>
-
: называется [[Коэффициент эксцесса|коэффициентом эксцесса]] распределения <math>\displaystyle X.</math>
+
: называется [[Коэффициент эксцесса|коэффициентом эксцесса]] распределения <tex>\displaystyle X.</tex>
== Вычисление моментов ==
== Вычисление моментов ==
-
* Моменты могут быть вычислены напрямую через определение путём [[Интеграл Лебега|интегрирования]] соответствующих степеней случайной величины. В частности, для [[Абсолютно непрерывное распределение|абсолютно непрерывного распределения]] с [[Плотность вероятности|плотностью]] <math>\displaystyle f(x),</math> имеем:
+
* Моменты могут быть вычислены напрямую через определение путём [[Интеграл Лебега|интегрирования]] соответствующих степеней случайной величины. В частности, для [[Абсолютно непрерывное распределение|абсолютно непрерывного распределения]] с [[Плотность вероятности|плотностью]] <tex>\displaystyle f(x),</tex> имеем:
-
:: <math>\nu_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^k\, f(x)\, dx,</math>
+
:: <tex>\nu_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^k\, f(x)\, dx,</tex>
-
если <math> \nu_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} |x|^k\, f(x)\, dx<{+\infty} ,</math>
+
если <tex> \nu_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} |x|^k\, f(x)\, dx<{+\infty} ,</tex>
-
: а для [[Дискретное распределение|дискретного распределения]] с [[Функция вероятности|функцией вероятности]] <math>\displaystyle p(x):</math>
+
: а для [[Дискретное распределение|дискретного распределения]] с [[Функция вероятности|функцией вероятности]] <tex>\displaystyle p(x):</tex>
-
:: <math>\nu_k = \sum\limits_{x} x^k\, p(x),</math>
+
:: <tex>\nu_k = \sum\limits_{x} x^k\, p(x),</tex>
-
если <math>\nu_k = \sum\limits_{x} |x|^k\, p(x)<{+\infty}.</math>
+
если <tex>\nu_k = \sum\limits_{x} |x|^k\, p(x)<{+\infty}.</tex>
-
* Также моменты случайной величины могут быть вычислены через ее [[Характеристическая функция случайной величины|характеристическую функцию]] <math>\displaystyle \phi(t)</math>:
+
* Также моменты случайной величины могут быть вычислены через ее [[Характеристическая функция случайной величины|характеристическую функцию]] <tex>\displaystyle \phi(t)</tex>:
-
:: <math>\nu_k = \left.-i^k \frac{d^k}{dt^k} \phi(t)\right\vert_{t=0}.</math>
+
:: <tex>\nu_k = \left.-i^k \frac{d^k}{dt^k} \phi(t)\right\vert_{t=0}.</tex>
-
* Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена [[производящая функция моментов]] <math>\displaystyle M(t),</math> то моменты могут быть вычислены по следующей формуле:
+
* Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена [[производящая функция моментов]] <tex>\displaystyle M(t),</tex> то моменты могут быть вычислены по следующей формуле:
-
:: <math>\nu_k = \left.\frac{d^k}{dt^k}M(t)\right\vert_{t=0}.</math>
+
:: <tex>\nu_k = \left.\frac{d^k}{dt^k}M(t)\right\vert_{t=0}.</tex>
-
 
+
-
== Обобщения ==
+
-
 
+
-
Можно также рассматривать нецелые значения <math>k</math>. Момент, рассматриваемый как функция от аргумента <math>k</math>, называется [[Преобразование Меллина|преобразованием Меллина]].
+
-
 
+
-
Можно рассматривать моменты многомерной случайной величины. Тогда первый момент будет вектором той же размерности, второй — тензором второго ранга (см. [[матрица ковариации]]) над пространством той же размерности (хотя можно рассматривать и след этой матрицы, дающий скалярное обобщение дисперсии). Итд.
+

Версия 23:34, 7 января 2009

Моме?нт случа?йной величины? — числовая характеристика распределения данной случайной величины.

Содержание

Определения

Если дана случайная величина \displaystyle X, определённая на некотором вероятностном пространстве, то:

  • \displaystyle k-м нача?льным моментом случайной величины \displaystyle X, где k \in \texbb{N}, называется величина
\nu_k = \texbb{E}\left[X^k\right],
если математическое ожидание \texbb{E}[*] в правой части этого равенства определено;
  • \displaystyle k-м центра?льным моментом случайной величины \displaystyle X называется величина
\mu_k = \texbb{E}\left[(X - \texbb{E}X)^k\right],
  • \displaystyle k-м факториальным моментом случайной величины \displaystyle X называется величина
\mu_k = \texbb{E}\left[X(X-1)...(X-k+1)\right],
если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.

Замечания

  • Если определены моменты \displaystyle k-го порядка, то определены и все моменты низших порядков 1 \le k' < k.
  • В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные, и наоборот. Например:
\displaystyle \mu_1 = 0,
\displaystyle \mu_2 = \nu_2-\nu_1^2,
\displaystyle \mu_3 = \nu_3-3\nu_1 \nu_2 + 2 \nu_1^3,
\displaystyle \mu_4 = \nu_4 - 4 \nu_1 \nu_3 + 6 \nu_1^2 \nu_2 - 3 \nu_1^4, и т. д.

Геометрический смысл некоторых моментов

  • \displaystyle \nu_1 равняется математическому ожиданию случайной величины и показывает относительное расположение распределения на числовой прямой.
  • \displaystyle \mu_2 равняется дисперсии распределения \displaystyle (\mu_2=\sigma^2) и показывает разброс распределения вокруг среднего значения.
  • \displaystyle \mu_3, будучи соответствующим образом нормализован, является числовой характеристикой симметрии распределения. Более точно, выражение
\frac{\mu_3}{\sigma^3}
называется коэффициентом асимметрии.
  • \displaystyle \mu_4 контролирует, насколько ярко выражена вершина распределения в окрестности среднего. Величина
\frac{\mu_4}{\sigma^4}-3
называется коэффициентом эксцесса распределения \displaystyle X.

Вычисление моментов

\nu_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^k\, f(x)\, dx,

если \nu_k = \int\limits_{-\infty}^{\infty} |x|^k\, f(x)\, dx<{+\infty} ,

а для дискретного распределения с функцией вероятности \displaystyle p(x):
\nu_k = \sum\limits_{x} x^k\, p(x),

если \nu_k = \sum\limits_{x} |x|^k\, p(x)<{+\infty}.

\nu_k = \left.-i^k \frac{d^k}{dt^k} \phi(t)\right\vert_{t=0}.
  • Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена производящая функция моментов \displaystyle M(t), то моменты могут быть вычислены по следующей формуле:
\nu_k = \left.\frac{d^k}{dt^k}M(t)\right\vert_{t=0}.
Источник — «http://www.recognition.su/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D1%8B»