Критерий Фишера

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(категория)
(уточнение)
Строка 1: Строка 1:
-
'''Критерий Фишера''' применяется для для проверки равенства дисперсий двух выборок.
+
{{TOCRight}}
 +
'''Критерий Фишера''' применяется для проверки равенства дисперсий двух выборок.
-
Критерий Фишера основан на дополнительном предположении о нормальности выборок данных.
+
Критерий Фишера основан на дополнительных предположениях о независимости и нормальности выборок данных.
-
Поэтому перед применением критерия рекомендуется выполнить [[Критерии нормальности|проверку нормальности]].
+
Перед его применением рекомендуется выполнить [[Критерии нормальности|проверку нормальности]].
-
==Примеры задач==
+
В [[регрессионный анализ|регрессионном анализе]] критерий Фишера позволяет оценивать значимость линейных регрессионных моделей.
-
'''Пример 1.'''
+
==Примеры задач==
-
Первая выборка - это значения внутривенного давления пациента, перенёсшего операцию. Вторая выборка - некоторые контрольные значения замеров. Значения в выборках - величина внутривенного давления, измеряемого медперсоналом каждые k часов. Требуется определить, является ли динамика изменчивости давления пациента нормой. В случае отсутствия резких отличий в динамике можно считать, что осложнений не предвидится.
+
-
'''Пример 2.'''
 
-
Первая выборка - тигры в зоопарке. Вторая выборка - тигры живущие на воле в некотором заповеднике. Значения в выборках - относительное к количеству женских особей количество детёнышей, появившихся на свет за прошедший год. Требуется выявить насколько содержание в неволе влияет на изменение роста популяции.
 
==Описание критерия==
==Описание критерия==
Строка 25: Строка 23:
'''Дополнительное предположение''': выборки <tex>x^n</tex> и <tex>y^m</tex> являются [[нормальная|нормальными]].
'''Дополнительное предположение''': выборки <tex>x^n</tex> и <tex>y^m</tex> являются [[нормальная|нормальными]].
 +
Критерий Фишера чувствителен к нарушению предположения о нормальности.
'''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\; \sigma_1^2=\sigma_2^2</tex>
'''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\; \sigma_1^2=\sigma_2^2</tex>
'''Статистика критерия Фишера''':
'''Статистика критерия Фишера''':
-
 
::<tex>F=\frac{s_1^2}{s_2^2}</tex>
::<tex>F=\frac{s_1^2}{s_2^2}</tex>
 +
имеет [[распределение Фишера]] с <tex>n-1</tex> и <tex>m-1</tex> степенями свободы.
-
имеет распределение Фишера с <tex>n-1</tex> и <tex>m-1</tex>.
+
Обычно в числителе ставится большая из двух сравниваемых дисперсий.
-
 
+
Тогда [[критическая область критерия|критической областью критерия]] является правый хвост распределения Фишера,
-
В числителе всегда должна стоять большая по величине из двух
+
что соотвествует альтернативной гипотезе <tex>H_1'<tex>.
-
сравниваемых дисперсий.
+
'''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>):
'''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>):
*против альтернативы <tex>H_1:\; \sigma_1^2\neq\sigma_2^2</tex>
*против альтернативы <tex>H_1:\; \sigma_1^2\neq\sigma_2^2</tex>
-
::если <tex>F>F_{\frac{1+\alpha}{2}}(n-1,m-1)</tex> или
+
::если <tex>F>F_{1-\alpha/2}(n-1,m-1)</tex> или <tex>F<F_{1+\alpha/2}(n-1,m-1)</tex>, то нулевая гипотеза <tex>H_0</tex>
-
<tex>F<F_{\frac{1-\alpha}{2}}(n-1,m-1)</tex>, то нулевая гипотеза <tex>H_0</tex>
+
отвергается в пользу альтернативы <tex>H_1</tex>.
-
отвергается в пользу альтернативы <tex>H_1</tex>
+
*против альтернативы <tex>H_1':\; \sigma_1^2 > \sigma_2^2</tex>
*против альтернативы <tex>H_1':\; \sigma_1^2 > \sigma_2^2</tex>
-
::если <tex>F>F_{\alpha}(n-1,m-1)</tex>, то нулевая гипотеза <tex>H_0</tex> отвергается
+
::если <tex>F>F_{1-\alpha}(n-1,m-1)</tex>, то нулевая гипотеза <tex>H_0</tex> отвергается в пользу альтернативы <tex>H_1'</tex>;
-
в пользу альтернативы <tex>H_1'</tex>;
+
где <tex>F_{\alpha}(n-1,m-1)</tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] распределения Фишера с <tex>n-1</tex> и <tex>m-1</tex> степенями свободы.
где <tex>F_{\alpha}(n-1,m-1)</tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] распределения Фишера с <tex>n-1</tex> и <tex>m-1</tex> степенями свободы.
Строка 54: Строка 50:
# ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006. — 816&nbsp;с.
# ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006. — 816&nbsp;с.
-
== Ссылки ==
+
== См. также ==
-
* [[Проверка статистических гипотез]] — о методологии проверки статистических гипотез.
+
* [[Проверка статистических гипотез]]
* [[Статистика (функция выборки)]]
* [[Статистика (функция выборки)]]
-
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_Фишера Распределение Фишера](Википедия).
 
-
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Критерий_Фишера Критерий Фишера](Википедия).
 
-
[[Категория:Прикладная статистика]]
+
== Ссылки ==
 +
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_Фишера Распределение Фишера] (Википедия).
 +
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Критерий_Фишера Критерий Фишера] (Википедия).
 +
 
 +
[[Категория:Регрессионный анализ]]
 +
[[Категория:Дисперсионный анализ]]
 +
[[Категория:Параметрические критерии]]
[[Категория:Энциклопедия анализа данных]]
[[Категория:Энциклопедия анализа данных]]

Версия 19:28, 11 ноября 2008

Шаблон:TOCRight Критерий Фишера применяется для проверки равенства дисперсий двух выборок.

Критерий Фишера основан на дополнительных предположениях о независимости и нормальности выборок данных. Перед его применением рекомендуется выполнить проверку нормальности.

В регрессионном анализе критерий Фишера позволяет оценивать значимость линейных регрессионных моделей.

Содержание

Примеры задач

Описание критерия

Заданы две выборки x^n=(x_1,\ldots,x_n),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^m = (y_1,\ldots,y_m),\; y_i \in \mathbb{R}.

Обозначим через \sigma_1^2 и \sigma_2^2 дисперсии выборок x^n и y^m, s_1^2 и s_2^2 — выборочные оценки дисперсий \sigma_1^2 и \sigma_2^2:

s_1^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n {(x_i-\overline{x})}^2;
s_2^2=\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^m {(y_i-\overline{y})}^2,

где

\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {x_i};\;\; \overline{y}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m {y_i} — выборочные средние выборок x^n и y^m.

Дополнительное предположение: выборки x^n и y^m являются нормальными. Критерий Фишера чувствителен к нарушению предположения о нормальности.

Нулевая гипотеза H_0:\; \sigma_1^2=\sigma_2^2

Статистика критерия Фишера:

F=\frac{s_1^2}{s_2^2}

имеет распределение Фишера с n-1 и m-1 степенями свободы.

Обычно в числителе ставится большая из двух сравниваемых дисперсий. Тогда критической областью критерия является правый хвост распределения Фишера, что соотвествует альтернативной гипотезе H_1'<tex>. </p><p>'''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha):

  • против альтернативы H_1:\; \sigma_1^2\neq\sigma_2^2
если F>F_{1-\alpha/2}(n-1,m-1) или F<F_{1+\alpha/2}(n-1,m-1), то нулевая гипотеза H_0

отвергается в пользу альтернативы H_1.

  • против альтернативы H_1':\; \sigma_1^2 > \sigma_2^2
если F>F_{1-\alpha}(n-1,m-1), то нулевая гипотеза H_0 отвергается в пользу альтернативы H_1';

где F_{\alpha}(n-1,m-1) есть \alpha-квантиль распределения Фишера с n-1 и m-1 степенями свободы.

Литература

  1. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.

См. также

Ссылки

Источник — «http://www.recognition.su/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%A4%D0%B8%D1%88%D0%B5%D1%80%D0%B0»