Критерий знаковых рангов Уилкоксона

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
-
Критерий знаковых рангов Уилкоксона - непараметрический статистический критерий сранения связных выборок.
+
{{TOCright}}
-
Гипотеза <tex>H_0</tex>: медиана разностей в парах равна 0
+
Критерий знаковых рангов Уилкоксона - [[непараметрический статистический критерий]], используемый для оценки различий между двумя выборками, взятыми из закона распределения, отличного от нормального, либо измеренными с использованием порядковой шкалы.
 +
 
 +
 
 +
Гипотеза <tex>H_0</tex>: медиана разностей в парах равна 0<br/>
Альтернатива: медиана разностей в парах не равна 0
Альтернатива: медиана разностей в парах не равна 0
 +
== Предположения ==
 +
*Данные приходят парами
 +
*Пары незвасимы и одинаково распределены
 +
*Данные измерены хотя бы в [[Теория измерений|порядковой шкале]]
 +
*Распределение разностей симметрично относительно медианы
 +
 +
==Описание критерия==
 +
Пусть <tex>N</tex> - размер выборки (число пар). Обозначим <tex>x_{1,i}</tex> - элементы 1 выборки и <tex>x_{2,i}</tex> - элементы 2 выборки.
 +
 +
: H<sub>0</sub>: медиана разности между парами равна 0
 +
: H<sub>1</sub>: медиана разности между парами не равна 0
 +
 +
# Для <tex>i = 1, ..., N</tex>, вычислить <tex>|x_{2,i} - x_{1,i}|</tex> и <tex>sign(x_{2,i} - x_{1,i})</tex>
 +
# Исключить пары, где <tex>|x_{2,i} - x_{1,i}| = 0</tex>. Пусть <tex>N_r</tex> - размер полученной выборки после удаления таких пар
 +
# Упорядочить оставшиеся <tex>N_r</tex> пар в порядке возрастания модуля разности, <tex>|x_{2,i} - x_{1,i}|</tex>.
 +
# [[Ranking#Ranking_in_statistics|Rank]] the pairs, starting with the smallest as 1. Ties receive a rank equal to the average of the ranks they span. Пусть <tex>R_i</tex> обозначает ранг.
 +
# Вычислить статистику <tex>W</tex>
 +
#: <tex>W = |\sum_{i=1}^{N_r} [sign(x_{2,i} - x_{1,i}) \cdot R_i]|</tex>, модуль суммы знаковых рангов.
 +
# С ростом <tex>N_r</tex> распределение <tex>W</tex> сходится к нормальному. Thus,
 +
#: For <tex>N_r \ge 10</tex>, a z-score can be calculated as <tex>z = \frac{W - 0.5}{\sigma_W}, \sigma_W = \sqrt{\frac{N_r(N_r + 1)(2N_r + 1)}{6}}</tex>.
 +
#: Если <math>z > z_{critical}</math> отклонить <tex>H_0</tex>
 +
#:
 +
#: Если <tex>N_r < 10</tex>, <tex>W</tex> Сравнивается с критическими значениями по таблице.
 +
#:
 +
#: Если <tex>W \ge W_{critical, N_r}</tex> отвергнуть <tex>H_0</tex>
 +
== Реализации ==
== Реализации ==

Версия 20:27, 24 февраля 2014

Содержание

Критерий знаковых рангов Уилкоксона - непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками, взятыми из закона распределения, отличного от нормального, либо измеренными с использованием порядковой шкалы.


Гипотеза H_0: медиана разностей в парах равна 0
Альтернатива: медиана разностей в парах не равна 0

Предположения

  • Данные приходят парами
  • Пары незвасимы и одинаково распределены
  • Данные измерены хотя бы в порядковой шкале
  • Распределение разностей симметрично относительно медианы

Описание критерия

Пусть N - размер выборки (число пар). Обозначим x_{1,i} - элементы 1 выборки и x_{2,i} - элементы 2 выборки.

H0: медиана разности между парами равна 0
H1: медиана разности между парами не равна 0
  1. Для i = 1, ..., N, вычислить |x_{2,i} - x_{1,i}| и sign(x_{2,i} - x_{1,i})
  2. Исключить пары, где |x_{2,i} - x_{1,i}| = 0. Пусть N_r - размер полученной выборки после удаления таких пар
  3. Упорядочить оставшиеся N_r пар в порядке возрастания модуля разности, |x_{2,i} - x_{1,i}|.
  4. Rank the pairs, starting with the smallest as 1. Ties receive a rank equal to the average of the ranks they span. Пусть R_i обозначает ранг.
  5. Вычислить статистику W
    W = |\sum_{i=1}^{N_r} [sign(x_{2,i} - x_{1,i}) \cdot R_i]|, модуль суммы знаковых рангов.
  6. С ростом N_r распределение W сходится к нормальному. Thus,
    For N_r \ge 10, a z-score can be calculated as z = \frac{W - 0.5}{\sigma_W}, \sigma_W = \sqrt{\frac{N_r(N_r + 1)(2N_r + 1)}{6}}.
    Если <math>z > z_{critical}</math> отклонить H_0
    Если N_r < 10, W Сравнивается с критическими значениями по таблице.
    Если W \ge W_{critical, N_r} отвергнуть H_0


Реализации

Источник — «http://www.recognition.su/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%8B%D1%85_%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%BE%D0%B2_%D0%A3%D0%B8%D0%BB%D0%BA%D0%BE%D0%BA%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0»