Исследование устойчивости оценок ковариационной матрицы параметров

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Новая: ==Введение== В данной работе исследуется устойчивость оценок ковариационной матрицы параметров моде...)
Строка 13: Строка 13:
Задана выборка <tex>D = (X, \mathbf{y}) = \{(x_i, y_i)\}_{i = 1}^m</tex>.
Задана выборка <tex>D = (X, \mathbf{y}) = \{(x_i, y_i)\}_{i = 1}^m</tex>.
-
Вектор свободных переменных <tex>x \in \mathbb{R}^n<tex>, зависимая переменная <tex>y \in \mathbb{R}</tex>.
+
Вектор свободных переменных <tex>x \in \mathbb{R}^n</tex>, зависимая переменная <tex>y \in \mathbb{R}</tex>.
Предполгается, что
Предполгается, что
<br/>
<br/>
Строка 19: Строка 19:
y = f(x, w) + \varepsilon,
y = f(x, w) + \varepsilon,
</tex>
</tex>
 +
где <tex>f(x, w)</tex> --- некоторая параметрическая функция, <tex>w \in W</tex> --- вектор ее параметров, <tex>\varepsilon</tex> --- ошибка, распределенная нормально с нулевым математическим ожиданием и дисперсией <tex>\beta</tex>, <tex>\varepsilon \sim \mathcal{N}(0, \beta)</tex>. Предполагается, что вектор параметров <tex>w</tex> --- нормальнораспределенный случайный вектор с нулевым математическим ожиданием и матрицей ковариаций <tex>A</tex>.
где <tex>f(x, w)</tex> --- некоторая параметрическая функция, <tex>w \in W</tex> --- вектор ее параметров, <tex>\varepsilon</tex> --- ошибка, распределенная нормально с нулевым математическим ожиданием и дисперсией <tex>\beta</tex>, <tex>\varepsilon \sim \mathcal{N}(0, \beta)</tex>. Предполагается, что вектор параметров <tex>w</tex> --- нормальнораспределенный случайный вектор с нулевым математическим ожиданием и матрицей ковариаций <tex>A</tex>.
Строка 24: Строка 25:
Наиболее вероятные параметры <tex>w_{MP}</tex> имеют вид: <br/>
Наиболее вероятные параметры <tex>w_{MP}</tex> имеют вид: <br/>
<tex>
<tex>
-
w_{MP} = \argmax_{w} p(w| D, A, \beta, f).
+
w_{MP} = argmax_{w} p(w| D, A, \beta, f).
</tex>
</tex>
Строка 36: Строка 37:
</tex>
</tex>
-
Набор наиболее вероятных гиперпараметров будем искать, максимизируя оценку правдоподобия по <tex>A</tex>, <tex>\beta</tex>
+
Набор наиболее вероятных гиперпараметров будем искать, максимизируя оценку правдоподобия по <tex>A</tex>, <tex>\beta</tex><br/>
<tex>
<tex>
\ln p(D|A, \beta, f) = - \frac12 \ln |A| - \frac{m}2 \ln 2\pi + \frac{m}2 \ln \beta \underbrace{- E_{w} - \beta E_D}_{S(w_0)} - \frac12 \ln |H|,
\ln p(D|A, \beta, f) = - \frac12 \ln |A| - \frac{m}2 \ln 2\pi + \frac{m}2 \ln \beta \underbrace{- E_{w} - \beta E_D}_{S(w_0)} - \frac12 \ln |H|,
</tex>
</tex>
 +
здесь <tex>H</tex> --- гессиан функционала <tex>S(w)</tex>.
здесь <tex>H</tex> --- гессиан функционала <tex>S(w)</tex>.
В предположении о диагональности матрицы <tex>A = diag(\boldsymbol{\alpha})</tex> и гессиана <tex>H = diag(\mathbf{h})</tex>,
В предположении о диагональности матрицы <tex>A = diag(\boldsymbol{\alpha})</tex> и гессиана <tex>H = diag(\mathbf{h})</tex>,
-
<tex>\boldsymbol{\alpha} = \{ \alpha_i \}_{i = 1}^m</tex>, <tex>\mathbf{h} = \{h_i \}_{i = 1}^m</tex>, приравняв производные по гиперпараметрам к нулю, получаем оценку для <tex>\alpha_i</tex> <br/>:
+
<tex>\alpha = \{ \alpha_i \}_{i = 1}^m</tex>, <tex>\mathbf{h} = \{h_i \}_{i = 1}^m</tex>, приравняв производные по гиперпараметрам к нулю, получаем оценку для <tex>\alpha_i</tex>: <br/>
<tex>
<tex>
-
\label{eq:alph}
 
\alpha_i = \frac12 \lambda_i \left( \sqrt{1 + \frac{4}{w_i^2 \lambda_i}} - 1 \right),
\alpha_i = \frac12 \lambda_i \left( \sqrt{1 + \frac{4}{w_i^2 \lambda_i}} - 1 \right),
</tex>
</tex>
здесь <tex>\lambda_i = \beta h_i</tex>.
здесь <tex>\lambda_i = \beta h_i</tex>.
-
Так же получаем оценку <tex>\beta</tex> <br/>
+
Так же получаем оценку <tex>\beta</tex>: <br/>
<tex>
<tex>
-
\label{eq:beta}
 
\beta = \frac{n - \gamma}{2 E_D},
\beta = \frac{n - \gamma}{2 E_D},
</tex>
</tex>

Версия 20:44, 24 сентября 2011

Введение

В данной работе исследуется устойчивость оценок ковариационной матрицы параметров модели. Рассматриваются модели линейной регрессии. Тогда вектор параметров модели соответствует набору признаков модели. Ковариационная матрица параметров строится в предположении о вероятностном распределении вектора параметров. Исследуется, как будет меняться ковариационная матрица параметров модели при добавлении новых столбцов в матрицу плана. Для такой матрицы плана получаем расширенный вектор параметров модели и оценку матрицы ковариации параметров модели. Сравнивается ковариационная матрица для нерасширенного и расширенного вектора параметеров модели. Исследуется пространство параметров для информативных признаков.

Постановка задачи

Задана выборка D = (X, \mathbf{y}) = \{(x_i, y_i)\}_{i = 1}^m. Вектор свободных переменных x \in \mathbb{R}^n, зависимая переменная y \in \mathbb{R}. Предполгается, что
y = f(x, w) + \varepsilon,

где f(x, w) --- некоторая параметрическая функция, w \in W --- вектор ее параметров, \varepsilon --- ошибка, распределенная нормально с нулевым математическим ожиданием и дисперсией \beta, \varepsilon \sim \mathcal{N}(0, \beta). Предполагается, что вектор параметров w --- нормальнораспределенный случайный вектор с нулевым математическим ожиданием и матрицей ковариаций A.

Рассматривается класс линейных функций f(x, w). Наиболее вероятные параметры w_{MP} имеют вид:
w_{MP} = argmax_{w} p(w| D, A, \beta, f).

Для такого набора параметров исследуется матрица ковариации A, который мы тоже оцениваем, используя принцип максимального правдоподобия.

Описание алгоритма оценки матрицы ковариации

Для фиксированных гиперпарамтеров A, \beta вектор наиболее вероятных параметров минимизирует функционал
S(w) = w^T A w + \beta \sum_{i = 1}^n (y_i - x_i^T w)^2 = E_{w} + \beta E_D.

Набор наиболее вероятных гиперпараметров будем искать, максимизируя оценку правдоподобия по A, \beta
\ln p(D|A, \beta, f) = - \frac12 \ln |A| - \frac{m}2 \ln 2\pi + \frac{m}2 \ln \beta \underbrace{- E_{w} - \beta E_D}_{S(w_0)} - \frac12 \ln |H|,

здесь H --- гессиан функционала S(w).

В предположении о диагональности матрицы A = diag(\boldsymbol{\alpha}) и гессиана H = diag(\mathbf{h}), \alpha = \{ \alpha_i \}_{i = 1}^m, \mathbf{h} = \{h_i \}_{i = 1}^m, приравняв производные по гиперпараметрам к нулю, получаем оценку для \alpha_i:
\alpha_i = \frac12 \lambda_i \left( \sqrt{1 + \frac{4}{w_i^2 \lambda_i}} - 1 \right), здесь \lambda_i = \beta h_i.

Так же получаем оценку \beta:
\beta = \frac{n - \gamma}{2 E_D}, здесь
\gamma = \sum_{j=1}^n \frac{\lambda_j}{\lambda_j + \alpha_j}.

Используя оценки вектора параметров при фиксированных гиперпарамтерах и гиперпараметров при фиксированных параметрах, выпишем итерационный алгоритм поиска наиболее вероятных параметров и гиперпараметров. Он состоит из шагов:

  • поиск вектора параметров, максимизирующих функционал S(w),
  • поиск гиперпараметров, максимизирующих правдоподобие,
  • проверка критерия остановки.


Критерий остановки --- малое изменение функционала S(w) для двух последовательных итераций алгоритма.

Источник — «http://www.recognition.su/wiki/index.php?title=%D0%98%D1%81%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%83%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9%D1%87%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D0%BA_%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B2»