Байесовский классификатор

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
м
м
Строка 32: Строка 32:
В байесовской теории классификации эта задача разделяется на две.
В байесовской теории классификации эта задача разделяется на две.
 +
* Построение оптимального классификатора при известных плотностях классов. Эта подзадача имеет простое и окончательное решение.
 +
* Восстановление плотностей классов по обучающей выборке. {{S|В этой}} подзадаче сосредоточена основная сложность байесовского подхода к классификации.
=== Построение классификатора при известных плотностях классов ===
=== Построение классификатора при известных плотностях классов ===
-
'''Задача 1.'''
 
Пусть для каждого класса <tex>y \in Y</tex> известна
Пусть для каждого класса <tex>y \in Y</tex> известна
''априорная вероятность'' <tex>P_y</tex> того, что появится объект класса <tex>y</tex>,
''априорная вероятность'' <tex>P_y</tex> того, что появится объект класса <tex>y</tex>,
Строка 44: Строка 45:
''Средний риск'' опредеяется как математическое ожидание ошибки:
''Средний риск'' опредеяется как математическое ожидание ошибки:
<center>
<center>
-
<tex>R(a) = \sum_{y\in Y} \sum_{s\in Y} \lambda_{y} P_y \mathsf{P}_{(x,y)}\bigl\{a(x)=s|y\bigr\},
+
<tex>R(a) = \sum_{y\in Y} \sum_{s\in Y} \lambda_{y} P_y \mathsf{P}_{(x,y)}\bigl\{a(x)=s|y\bigr\},</tex>
-
</tex>
+
</center>
</center>
где <tex>\lambda_{y}</tex> — ''цена ошибки'' или
где <tex>\lambda_{y}</tex> — ''цена ошибки'' или
Строка 52: Строка 52:
'''Теорема.''' Решением этой задачи является алгоритм
'''Теорема.''' Решением этой задачи является алгоритм
<center>
<center>
-
<tex>a(x) = \mathrm{arg}\max_{y\in Y} \lambda_{y} P_y p_y(x).
+
<tex>a(x) = \mathrm{arg}\max_{y\in Y} \lambda_{y} P_y p_y(x).</tex>
-
</tex>
+
</center>
</center>
Строка 63: Строка 62:
=== Восстановление плотностей классов по обучающей выборке ===
=== Восстановление плотностей классов по обучающей выборке ===
-
'''Задача 2.'''
 
По заданной подвыборке объектов класса <tex>y</tex>
По заданной подвыборке объектов класса <tex>y</tex>
построить эмпирические оценки априорных вероятностей <tex>P_y</tex>
построить эмпирические оценки априорных вероятностей <tex>P_y</tex>
Строка 73: Строка 71:
[[Восстановление распределения вероятностей|Восстановление плотностей]] (функций правдоподобия каждого из классов) является наиболее трудной задачей.
[[Восстановление распределения вероятностей|Восстановление плотностей]] (функций правдоподобия каждого из классов) является наиболее трудной задачей.
Наиболее распространены три подхода: параметрический, непараметрический
Наиболее распространены три подхода: параметрический, непараметрический
-
и расщепление смеси вероятностных распределений.
+
и разделение смеси вероятностных распределений.
Третий подход занимает промежуточное положение между первыми двумя,
Третий подход занимает промежуточное положение между первыми двумя,
и в определённом смысле является наиболее общим.
и в определённом смысле является наиболее общим.
Строка 79: Строка 77:
* ''Параметрическое'' восстановление плотности при дополнительном предположении, что [[многомерное нормальное распределение|плотности нормальные (гауссовские)]], приводит к [[нормальный дискриминантный анализ|нормальному дискриминантному анализу]] и [[Линейный дискриминант Фишера|линейному дискриминанту Фишера]].
* ''Параметрическое'' восстановление плотности при дополнительном предположении, что [[многомерное нормальное распределение|плотности нормальные (гауссовские)]], приводит к [[нормальный дискриминантный анализ|нормальному дискриминантному анализу]] и [[Линейный дискриминант Фишера|линейному дискриминанту Фишера]].
* ''Непараметрическое'' восстановление плотности приводит, в частности, к [[метод парзеновского окна|методу парзеновского окна]].
* ''Непараметрическое'' восстановление плотности приводит, в частности, к [[метод парзеновского окна|методу парзеновского окна]].
-
* ''Восстановление смеси плотностей'' может быть сделано с помощью [[EM-алгоритм]]а. Дополнительное предположение, что плотности компонент смеси являются радиальными функциями, приводит к [[Метод радиальных базисных функций|методу радиальных базисных функций]]. Обычно в качестве компонент смеси берут, опять-таки, гауссовские плотности.
+
* ''[[Разделение смеси распределений]]'' может быть сделано с помощью [[EM-алгоритм]]а. Дополнительное предположение, что плотности компонент смеси являются радиальными функциями, приводит к [[Метод радиальных базисных функций|методу радиальных базисных функций]]. Обычно в качестве компонент смеси берут, опять-таки, гауссовские плотности.
Таким образом, формула байесовского классификатора приводит к большому разнообразию байесовских алгоритмов, отличающихся только способом восстановления плотностей.
Таким образом, формула байесовского классификатора приводит к большому разнообразию байесовских алгоритмов, отличающихся только способом восстановления плотностей.
Строка 97: Строка 95:
так как оценить <tex>n</tex> одномерных плотностей гораздо легче, чем
так как оценить <tex>n</tex> одномерных плотностей гораздо легче, чем
одну <tex>n</tex>-мерную плотность.
одну <tex>n</tex>-мерную плотность.
-
К сожалению, оно крайне редко выполняется на практике, отсюда и название метода.
+
{{S|К сожалению}}, оно крайне редко выполняется на практике, отсюда и название метода.
Наивный байесовский классификатор может быть как параметрическим, так и непараметрическим,
Наивный байесовский классификатор может быть как параметрическим, так и непараметрическим,
Строка 126: Строка 124:
* [[:Участник:Vokov|Воронцов К.В.]] [http://www.ccas.ru/voron/teaching.html#ML Математические методы обучения по прецедентам]. МФТИ (2004), ВМиК МГУ (2007).
* [[:Участник:Vokov|Воронцов К.В.]] [http://www.ccas.ru/voron/teaching.html#ML Математические методы обучения по прецедентам]. МФТИ (2004), ВМиК МГУ (2007).
 +
[[Категория:Байесовская теория классификации]]
[[Категория:Машинное обучение]]
[[Категория:Машинное обучение]]
[[Категория:Классификация]]
[[Категория:Классификация]]
[[Категория:Энциклопедия анализа данных]]
[[Категория:Энциклопедия анализа данных]]

Версия 13:30, 30 апреля 2008

Байесовский классификатор — широкий класс алгоритмов классификации, основанный на принципе максимума апостериорной вероятности. Для классифицируемого объекта вычисляются функции правдоподобия каждого из классов, по ним вычисляются апостериорные вероятности классов. Объект относится к тому классу, для которого апостериорная вероятность максимальна.

Содержание

Введение

Байесовский подход к классификации основан на теореме, утверждающей, что если плотности распределения каждого из классов известны, то искомый алгоритм можно выписать в явном аналитическом виде. Более того, этот алгоритм оптимален, то есть обладает минимальной вероятностью ошибок.

На практике плотности распределения классов, как правило, не известны. Их приходится оценивать (восстанавливать) по обучающей выборке. В результате байесовский алгоритм перестаёт быть оптимальным, так как восстановить плотность по выборке можно только с некоторой погрешностью. Чем короче выборка, тем выше шансы подогнать распределение под конкретные данные и столкнуться с эффектом переобучения.

Байесовский подход к классификации является одним из старейших, но до сих пор сохраняет прочные позиции в теории распознавания. Он лежит в основе многих достаточно удачных алгоритмов классификации.

К числу байесовских методов классификации относятся:

Основная формула

Пусть X — множество описаний объектов, Y — множество номеров (или наименований) классов. На множестве пар «объект, класс» X \times Y определена вероятностная мера \mathsf P. Имеется конечная обучающая выборка независимых наблюдений X^m = \{(x_1,y_1),\ldots,(x_m,y_m)\}, полученных согласно вероятностной мере \mathsf P.

Задача классификации заключается в том, чтобы построить алгоритм a:\; X\to Y, способный классифицировать произвольный объект x \in X.

В байесовской теории классификации эта задача разделяется на две.

  • Построение оптимального классификатора при известных плотностях классов. Эта подзадача имеет простое и окончательное решение.
  • Восстановление плотностей классов по обучающей выборке. В этой подзадаче сосредоточена основная сложность байесовского подхода к классификации.

Построение классификатора при известных плотностях классов

Пусть для каждого класса y \in Y известна априорная вероятность P_y того, что появится объект класса y, и плотности распределения p_y(x) каждого из классов, называемые также функциями правдоподобия классов. Требуется построить алгоритм классификации a(x), доставляющий минимальное значение функционалу среднего риска.

Средний риск опредеяется как математическое ожидание ошибки:

R(a) = \sum_{y\in Y} \sum_{s\in Y} \lambda_{y} P_y \mathsf{P}_{(x,y)}\bigl\{a(x)=s|y\bigr\},

где \lambda_{y} — цена ошибки или штраф за отнесение объекта класса y к какому-либо другому классу.

Теорема. Решением этой задачи является алгоритм

a(x) = \mathrm{arg}\max_{y\in Y} \lambda_{y} P_y p_y(x).

Значение P\{y|x\} = P_y p_y(x) интерпретируется как апостериорная вероятность того, что объект x принадлежит классу y.

Если классы равнозначимы, \lambda_{y} P_y = \mathrm{const}(y), то объект x просто относится к классу с наибольшим значением плотности распределения в точке x.

Восстановление плотностей классов по обучающей выборке

По заданной подвыборке объектов класса y построить эмпирические оценки априорных вероятностей P_y и функций правдоподобия p_y(x).

В качестве оценки априорных вероятностей берут, как правило, долю объектов данного класса в обучающей выборке.

Восстановление плотностей (функций правдоподобия каждого из классов) является наиболее трудной задачей. Наиболее распространены три подхода: параметрический, непараметрический и разделение смеси вероятностных распределений. Третий подход занимает промежуточное положение между первыми двумя, и в определённом смысле является наиболее общим.

Таким образом, формула байесовского классификатора приводит к большому разнообразию байесовских алгоритмов, отличающихся только способом восстановления плотностей.

Наивный байесовский классификатор

Наивный байесовский классификатор (naїve Bayes) основан на той же формуле и дополнительном предположении, что объекты описываются n независимыми признаками: x \equiv \bigl( \xi_1=f_1(x),\ldots, \xi_n=f_n(x) \bigr). Следовательно, функции правдоподобия классов представимы в виде p_y(x) = p_{y1}(\xi_1) \cdot \ldots \cdot p_{yn}(\xi_n), где p_{yj}(\xi_j) — плотность распределения значений j-го признака для класса y.

Предположение о независимости существенно упрощает задачу, так как оценить n одномерных плотностей гораздо легче, чем одну n-мерную плотность. К сожалению, оно крайне редко выполняется на практике, отсюда и название метода.

Наивный байесовский классификатор может быть как параметрическим, так и непараметрическим, в зависимости от того, каким методом восстанавливаются одномерные плотности.

Основные его преимущества — простота реализации и низкие вычислительные затраты при обучении и классификации. В тех редких случаях, когда признаки действительно независимы (или почти независимы), наивный байесовский классификатор (почти) оптимален.

Основной его недостаток — относительно низкое качество классификации в большинстве реальных задач.

Чаще всего он используется либо как примитивный эталон для сравнения различных моделей алгоритмов, либо как элементарный строительный блок в алгоритмических композициях.

Литература

  1. Айвазян С. А., Бухштабер В. М., Енюков И. С., Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика: классификация и снижение размерности. — М.: Финансы и статистика, 1989.
  2. Вапник В. Н., Червоненкис А. Я. Теория распознавания образов. — М.: Наука, 1974.
  3. Вапник В. Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. — М.: Наука, 1979.
  4. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен. — М.: Мир, 1976.
  5. Hastie T., Tibshirani R., Friedman J. The Elements of Statistical Learning. — Springer, 2001. ISBN 0-387-95284-5.

Ссылки

Источник — «http://www.recognition.su/wiki/index.php?title=%D0%91%D0%B0%D0%B9%D0%B5%D1%81%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%84%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%BE%D1%80»