Участник:Slimper/Песочница

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 09:35, 6 января 2010

Критерий Ван-дер-Вардена — непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по признаку, измеренному в количественной шкале. Критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.

Содержание

1 Примеры задач
2 Описание критерия
3 Свойства и границы применимости U-критерия
4 История
5 Литература
6 См. также
7 Ссылки

Примеры задач

Пример 1. Первая выборка — это пациенты, которых лечили препаратом А. Вторая выборка — пациенты, которых лечили препаратом Б. Значения в выборках — это некоторая характеристика эффективности лечения (уровень метаболита в крови, температура через три дня после начала лечения, срок выздоровления, число койко-дней, и т.д.) Требуется выяснить, имеется ли значимое различие эффективности препаратов А и Б, или различия являются чисто случайными и объясняются «естественной» дисперсией выбранной характеристики.

Пример 2. Первая выборка — это поля, обработанные агротехническим методом А. Вторая выборка — поля, обработанные агротехническим методом Б. Значения в выборках — это урожайность. Требуется выяснить, является ли один из методов эффективнее другого, или различия урожайности обусловлены случайными факторами.

Пример 3. Первая выборка — это дни, когда в супермаркете проходила промо-акция типа А (красные ценники со скидкой). Вторая выборка — дни промо-акции типа Б (каждая пятая пачка бесплатно). Значения в выборках — это показатель эффективности промо-акции (объём продаж, либо выручка в рублях). Требуется выяснить, какой из типов промо-акции более эффективен.

Описание критерия

Заданы две выборки $x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}$ .

Дополнительные предположения:

обе выборки простые, объединённая выборка независима;
выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений $F(x)$ и $G(y)$ соответственно.

Нулевая гипотеза $H_0:\; F(x) = G(y)$ .

Статистика критерия:

Построить общий вариационный ряд объединённой выборки $x^{(1)} \leq \cdots \leq x^{(m+n)}$ и найти ранги $r(x_i),\; r(y_i)$ всех элементов обеих выборок в общем вариационном ряду.
Вычислить суммарные ранги обеих выборок и статистику Манна-Уитни $U$ :

$R_x = \sum_{i=1}^m r(x_i);\;\;\;\; U_x = mn + \frac12m(m+1) - R_x;$

$R_y = \sum_{i=1}^n r(y_i);\;\;\;\; U_y = mn + \frac12n(n+1) - R_y;$

$U = \min\left\{U_x,U_y\right\}.$

Замечание: менее рациональный способ вычисления статистик Манна-Уитни $U_x,\: U_y$ :

$U_x = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \left[ x_i < y_j\right];$

$U_y = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \left[ x_i > y_j\right].$

Критерий (при уровне значимости $\alpha$ ):

против альтернативы $H_1:\; \mathbb{P} \{ x<y \} \neq 1/2$

если $U \notin \left[ U_{\alpha/2},\, U_{1-\alpha/2} \right]$ , то нулевая гипотеза отвергается;

против альтернативы $H'_1:\; \mathbb{P} \{ x<y \} > 1/2$

если $U_x > U_{1-\alpha}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

против альтернативы $H''_1:\; \mathbb{P} \{ x<y \} < 1/2$

если $U_y > U_{1-\alpha}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

где $U_{\alpha}$ есть $\alpha$ -квантиль табличного распределения Уилкоксона-Манна-Уитни с параметрами $m,\,n$ .

Асимптотический критерий: нормированная и центрированная статистика Манна-Уитни

$\tilde U = \frac{U-\frac12mn}{\sqrt{\frac1{12}mn(m+n+1)}}$

асимптотически имеет стандартное нормальное распределение при $m,\,n > 8$ .

Свойства и границы применимости U-критерия

Иногда ошибочно считают, что U-критерий проверяет нулевую гипотезу однородности $H_{00}:\; F(x)=G(y)$ , то есть что две выборки взяты из одного и того же распределения. U-критерий не является состоятельным против общей альтернативы $H_1:\; F(x) \neq G(y)$ . Это означает, что гипотеза однородности будет приниматься чаще, чем она на самом деле верна. Существуют ситуации, когда гипотеза $H_{0}$ верна, а более сильная гипотеза однородности $H_{00}$ не верна [Орлов]. Для проверки однородности существуют более мощные критерии, в частности, критерий Смирнова или критерий Лемана-Розенблатта.

Иногда ошибочно считают, что U-критерий проверяет нулевую гипотезу равенства медиан в двух выборках. Существуют распределения, для которых гипотеза $H_{0}$ верна, но их медианы различны.

U-критерий можно применять для проверки гипотезы сдвига в качестве альтернативной $H_{1}:\; F(x)=G(x+r)$ , где $r$ — некоторая константа, отличная от нуля. При этой альтернативе U-критерий является состоятельным. Его целесообразно применять, если одним и тем же прибором проводятся две серии измерений двух значений некоторой физической величины. При этом функция распределения $G(x)$ описывает погрешности измерения одного значения, а $G(x+r)$ — другого. Однако во многих приложениях (в частности, эконометрических) нет особых оснований предполагать, что распределение второй выборки лишь сдвигается, но не меняется каким-либо иным образом.

U-критерий является непараметрическим аналогом критерия Стьюдента. Если выборки нормальные, то для проверки гипотезы сдвига предпочтительно применить более мощный критерий Стьюдента.

История

Критерий был предложен Ван-дер-Варденом в 1953 году

Литература

ван дер Варден Б.Л. Математическая статистика/Пер.с нем. — М.: Иностранная литература,1960 — 450 c.
Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.

См. также

Проверка статистических гипотез — о методологии проверки статистических гипотез.
Статистика (функция выборки)
Критерий Стьюдента

Ссылки

Данная статья является непроверенным учебным заданием.

Студент: Участник:Slimper

Преподаватель: Участник:Vokov

Срок: 08 января 2010

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Источник — «http://www.recognition.su/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Slimper/%D0%9F%D0%B5%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0»

Категории: Статистические тесты | Непараметрические статистические тесты | Непроверенные учебные задания

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''Критерий Ван дер Вардена''' — это [[ранговый критерий]] в которых вместо выборочных значений используются их [[ранг]]и(номера элементов в упорядоченной по возрастанию выборке). Большинство ранговых критериев являются
+'''Критерий Ван-дер-Вардена''' — [[непараметрический статистический критерий]], используемый для оценки различий между двумя [[выборка]]ми по признаку, измеренному в количественной  [[шкала измерения|шкале]]. Критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению
-[[Проверка статистических гипотез#Типы статистических критериев| непараметрическими]], хотя
+к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.
-среди ранговых критериев встречаются и параметрические, например, одновыборочный [[критерий Колмогорова-Смирнова]].
-==Классификация ранговых критериев ==
+== Примеры задач ==
-''Ранговые критерии'' можно разбить на группы в зависимости от типа [[Проверка статистических гипотез| статистической гипотезы]], которую они проверяют. Некоторые критерии входят в несколько групп, так как их можно использовать для проверки различных гипотез.
-<ref>''Hajek J., Sidak Z., Sen K. P.'' Theory of rank tests(second edition)</ref>
-=== Критерии случайности ===
-Пусть задана выборка
-<tex>x_1, \dots x_n</tex>.
-Проверяется гипотеза о том, что наблюдения <tex>x_i</tex> независимы и подчиняются одному
-и тому же распределению с плотностью <tex>f(x)</tex>.
-*[[Критерий серий]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 526 </ref>
-*[[Критерий инверсий]]<ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 535 </ref>
-*[[Критерий Вальда-Волфовитца]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 539 </ref>
-*[[Критерий Рамачандрана-Ранганатана]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 530 </ref>
-*[[Сериальный критерий Шахнесси]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 530 </ref>
-*[[Критерий Олмстеда]]<ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 532 </ref>
-*[[Критерий Бартелса]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 540 </ref>
-*[[Критерий кумулятивной суммы]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 541 </ref>
-*[[Знаково-ранговый критерий Холлина]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 542 </ref>
-=== Критерии симметрии ===
+'''Пример 1.'''
-Пусть задана [[простая выборка]]
+Первая выборка — это пациенты, которых лечили препаратом&nbsp;А.
-<tex> x_1, \dots, x_n </tex> c плотностью <tex>f(x)</tex>
+Вторая выборка — пациенты, которых лечили препаратом&nbsp;Б.
-Проверяется гипотеза о том, что плотность распределения симметрична относительно своего центра <tex>a</tex>.
+Значения в выборках — это некоторая характеристика эффективности лечения (уровень метаболита в крови, температура через три дня после начала лечения, срок выздоровления, число койко-дней, и т.д.)
+Требуется выяснить, имеется ли значимое различие эффективности препаратов&nbsp;А&nbsp;и&nbsp;Б, или различия являются чисто случайными и объясняются «естественной» дисперсией выбранной характеристики.
-Возможная формулировка нулевой гипотезы:
+'''Пример 2.'''
-<tex>H_0: f(a + x) = f(a-x) </tex>.
+Первая выборка — это поля, обработанные агротехническим методом&nbsp;А.
-*[[Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни|Одновыборочный критерий Уилкоксона]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 339 </ref>
+Вторая выборка — поля, обработанные агротехническим методом&nbsp;Б.
-*[[Критерий симметрии Смирнова]]<ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 337 </ref>
+Значения в выборках — это урожайность.
-*[[Критерий Фрэйзера]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 350 </ref>
+Требуется выяснить, является ли один из методов эффективнее другого, или различия урожайности обусловлены случайными факторами.
-*[[Критерий Антилла—Керетинга—Цуккини]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 340 </ref>
-*[[Критерий Бхатачарья-Гаствирта-Райта]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 342 </ref>
-=== Критерии корреляции ===
-Задана выборка пар наблюдений  <tex>(x_i, y_i)</tex> объёма <tex>n</tex>
-Проверяется гипотеза о наличии корреляции между случайными величинами <tex>x</tex>
-и <tex>y</tex>. Для проверки этой гипотезы используются критерии, основанные на различных коэффициентах
-[[Ранговая корреляция|ранговой корреляции]].
-*[[коэффициент корреляции Кенделла|Критерий Кенделла]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 624 </ref>
-*[[коэффициент корреляции Спирмена|Критерий Спирмена]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 626 </ref>
-*[[Критерий Ширахатэ]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 630 </ref>
-*[[Критерий Гёфдинга]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 628 </ref>
-*[[Критерий корреляции Фишера-Йэйтса]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 632 </ref>
-*[[Критерий корреляции Ван дер Вардена ]]<ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 633 </ref>
-Обобщением [[Ранговая корреляция|ранговой корреляции]] на случай нескольких выборок является ''коэффициент конкордации''. На её основе строятся тесты для анализа корреляции нескольких выборок.
-*[[Конкордация Кенделла|Коэффициент конкордации Кенделла]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 634 </ref>
-*[Коэффициент конкордации Шукени-Фроли]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 636 </ref>
-=== Критерии сдвига и масштаба ===
-==== Критерии сдвига ====
-Проверяется гипотеза сдвига, согласно которой распределения двух выборок имеют одинаковую форму и отличаются только сдвигом на константу.
-Пусть заданы две выборки
-<tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}</tex>,взятые из неизвестных непрерывных распределений <tex>F(x)</tex> и <tex>G(y)</tex> соответственно.
-Нулевая гипотеза — <tex>H_0: \quad F(x) = G(y - \mu)</tex>
+'''Пример 3.'''
+Первая выборка — это дни, когда в супермаркете проходила промо-акция типа&nbsp;А (красные ценники со скидкой).
+Вторая выборка — дни промо-акции типа&nbsp;Б (каждая пятая пачка бесплатно).
+Значения в выборках — это показатель эффективности промо-акции (объём продаж, либо выручка в рублях).
+Требуется выяснить, какой из типов промо-акции более эффективен.
-Наиболее частая альтернативная гипотеза - <tex>H_1: \quad F(x) \ne G(y - \mu)</tex>.
+== Описание критерия ==
-* [[Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 454 </ref>
+Заданы две выборки <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}</tex>.
-* [[Критерий Фишера-Йэйтса-Терри-Гёфдинга]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 459 </ref>
-* [[Критерий Ван дер Вардена ]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 460 </ref>
-* [[Медианный критерий]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 462</ref>
-* [[Критерий Хаги]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 464 </ref>
-* [[E-Критерий]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 465 </ref>
-Кроме критериев, проверяющих гипотезу сдвига для двух совокупностей, существует большое
+'''Дополнительные предположения:'''
-количество тестов для проверки гипотезы сдвига среди нескольких совокупностей. Далее приведены
+* обе выборки [[простая выборка|простые]], объединённая выборка [[независимая выборка|независима]];
-некоторые из них:
+* выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений <tex>F(x)</tex> и <tex>G(y)</tex> соответственно.
-*[[Критерий Краскела-Уоллиса]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 466 </ref>
-*[[Критерий Краузе]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c.481  </ref>
-*[[Критерий Пейджа]]  <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c.482  </ref>
-*[[Критерий Вилкоксона-Вилкокс]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 471 </ref>
-*[[Критерий Джонкхиера]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 477 </ref>
-*[[Критерий Неменьи]]  <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 469 </ref>
-*[[Критерий Хеттманспергера ]]  <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 476 </ref>
-*[[Критерий Фридмена-Кендалла-Бэбингтона-Смита]]  <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 484 </ref>
-*[[Критерий Хеттманспергера]]  <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 476 </ref>
-*[[Критерий Андерсона-Каннемана-Шэча]]  <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 486 </ref>
-*[[Критерий Кендалла-Эренберга]]  <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 489 </ref>
-*[[Критерий Ходжеса-Лемана-Сена]]  <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 490 </ref>
-'''Критерии масштаба'''
+'''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\; F(x) = G(y)</tex>.
-Для двух выборок
-<tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}</tex>.
-проверяется гипотеза о том, что они принадлежат одному и тому же распределению,
-но с разным параметром масштаба.
-Если плотность распределения первой выборки — <tex>f(x)</tex>, а второй выборки —
-<tex>\frac{1}{\tau}f( \frac{x}{\tau})</tex>, то нулевая гипотеза <tex>H_0: \tau \ne 1</tex>.
-*[[Критерий Ансари—Бредли]]  <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 492 </ref>
+'''Статистика критерия:'''
-*[[Критерий Сижела-Тьюки]]  <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 495 </ref>
+# Построить общий [[вариационный ряд]] объединённой выборки <tex>x^{(1)} \leq \cdots \leq x^{(m+n)}</tex> и найти ранги <tex>r(x_i),\; r(y_i)</tex> всех элементов обеих выборок в общем вариационном ряду.
-*[[Критерий Критерий Кейпена]]  <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 496 </ref>
+# Вычислить суммарные ранги обеих выборок и статистику Манна-Уитни  <tex>U</tex>:
-*[[Критерий Клотца]]  <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 499 </ref>
+::<tex>R_x = \sum_{i=1}^m r(x_i);\;\;\;\; U_x = mn + \frac12m(m+1) - R_x;</tex>
-*[[Критерий Сэвиджа]]  <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 502 </ref>
+::<tex>R_y = \sum_{i=1}^n r(y_i);\;\;\;\; U_y = mn + \frac12n(n+1) - R_y;</tex>
-*[[Критерий Муда]]  <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 504 </ref>
+::<tex>U = \min\left\{U_x,U_y\right\}.</tex>
-*[[Критерий Сукхатме]]  <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 505 </ref>
-*[[Критерий Сэндвика-Олсона]]  <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 507 </ref>
-*[[Критерий Камата]]  <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 509 </ref>
-*[[Комбинированный критерий Буша-Винда]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 511 </ref>
-*[[Критерий Бхапкара-Дешпанде]]  <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 514 </ref>
-== Примечания ==
+Замечание: менее рациональный способ вычисления статистик Манна-Уитни <tex>U_x,\: U_y</tex>:
-{{список примечаний}}
+::<tex>U_x = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \left[ x_i < y_j\right];</tex>
+::<tex>U_y = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \left[ x_i > y_j\right].</tex>
+'''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>):
+* против альтернативы <tex>H_1:\; \mathbb{P} \{ x<y \} \neq 1/2</tex>
+::если <tex> U \notin \left[ U_{\alpha/2},\, U_{1-\alpha/2} \right] </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
+* против альтернативы <tex>H'_1:\; \mathbb{P} \{ x<y \} > 1/2</tex>
+::если <tex> U_x > U_{1-\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
+* против альтернативы <tex>H''_1:\; \mathbb{P} \{ x<y \} < 1/2</tex>
+::если <tex> U_y > U_{1-\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
+где
+<tex> U_{\alpha} </tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] табличного распределения Уилкоксона-Манна-Уитни с параметрами <tex>m,\,n</tex>.
+'''Асимптотический критерий''':
+нормированная и центрированная статистика Манна-Уитни
+::<tex>\tilde U = \frac{U-\frac12mn}{\sqrt{\frac1{12}mn(m+n+1)}}</tex>
+асимптотически имеет стандартное нормальное распределение при <tex>m,\,n > 8</tex>.
+== Свойства и границы применимости U-критерия ==
+Иногда ошибочно считают, что U-критерий проверяет нулевую [[гипотеза однородности|гипотезу однородности]]
+<tex>H_{00}:\; F(x)=G(y)</tex>, то есть что две выборки взяты из одного и того же распределения.
+U-критерий не является состоятельным против общей альтернативы
+<tex>H_1:\; F(x) \neq G(y)</tex>.
+Это означает, что гипотеза однородности будет приниматься чаще, чем она на самом деле верна.
+Существуют ситуации, когда гипотеза <tex>H_{0}</tex> верна, а более сильная гипотеза однородности <tex>H_{00}</tex> не верна [Орлов].
+Для проверки [[гипотеза однородности|однородности]] существуют более мощные критерии, в частности, [[критерий Смирнова]] или [[критерий Лемана-Розенблатта]].
+Иногда ошибочно считают, что U-критерий проверяет нулевую гипотезу равенства медиан в двух выборках.
+Существуют распределения, для которых гипотеза <tex>H_{0}</tex> верна, но их медианы различны.
+U-критерий можно применять для проверки [[гипотеза сдвига|гипотезы сдвига]] в качестве альтернативной
+<tex>H_{1}:\; F(x)=G(x+r)</tex>, где <tex>r</tex> — некоторая константа, отличная от нуля.
+При этой альтернативе U-критерий является [[состоятельный критерий|состоятельным]].
+Его целесообразно применять, если одним и тем же прибором проводятся две серии измерений двух значений некоторой физической величины. При этом функция распределения <tex>G(x)</tex> описывает погрешности измерения одного значения, а <tex>G(x+r)</tex> — другого. Однако во многих приложениях (в&nbsp;частности, эконометрических) нет особых оснований предполагать, что распределение второй выборки лишь сдвигается, но не меняется каким-либо иным образом.
+U-критерий является непараметрическим аналогом [[Критерий Стьюдента|критерия Стьюдента]].
+Если [[нормальная выборка|выборки нормальные]], то для проверки гипотезы сдвига предпочтительно применить более мощный критерий Стьюдента.
+== История ==
+Критерий был предложен Ван-дер-Варденом в 1953 году
 == Литература ==
+# ''ван дер Варден Б.Л.'' Математическая статистика/Пер.с нем. — М.:&nbsp; Иностранная литература,1960 — 450&nbsp;c.
 # ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006. — 816&nbsp;с.
-# ''Hajek J., Sidak Z., Sen K. P.'' Theory of rank tests(second edition). — Academic Press, 1999. - 450&nbsp;p.
-== См. также ==
-*[[Проверка статистических гипотез]]
-*[[Статистика (функция выборки)]]
-*[[Вариационный ряд]]
-*[[Ранговая корелляция]]
+== См. также ==
+* [[Проверка статистических гипотез]] — о методологии проверки статистических гипотез.
+* [[Статистика (функция выборки)]]
+* [[Критерий Стьюдента]]
 == Ссылки ==
-[http://en.wikipedia.org/wiki/Rank_correlation| Rank correlation]
+[[Категория:Статистические тесты]]
+[[Категория:Непараметрические статистические тесты]]
 {{Задание|Slimper|Vokov|08 января 2010}}

Участник:Slimper/Песочница

Материал из MachineLearning.

Версия 09:35, 6 января 2010

Содержание

Примеры задач

Описание критерия

Свойства и границы применимости U-критерия

История

Литература

См. также

Ссылки

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты