Метод простых итераций
Материал из MachineLearning.
(Различия между версиями)
| Строка 3: | Строка 3: | ||
Требуется найти корень этой функции, то есть <tex>x</tex> при котором <tex>f(x)=0</tex><br> | Требуется найти корень этой функции, то есть <tex>x</tex> при котором <tex>f(x)=0</tex><br> | ||
Решение необходимо найти численно, то есть для реализации на ЭВМ. Для решения этой задачи предлагается использовать метод простых итераций и его обобщения. | Решение необходимо найти численно, то есть для реализации на ЭВМ. Для решения этой задачи предлагается использовать метод простых итераций и его обобщения. | ||
| - | + | == Метод простых итераций в общем виде == | |
Заменеим исходное уравнение <tex>f(x)=0</tex> на эквивалентное <tex>g(x)=x</tex>.<br> | Заменеим исходное уравнение <tex>f(x)=0</tex> на эквивалентное <tex>g(x)=x</tex>.<br> | ||
Итерации будем строить по правилу <tex>g(x_n)=x_{n+1}</tex><br> | Итерации будем строить по правилу <tex>g(x_n)=x_{n+1}</tex><br> | ||
| Строка 9: | Строка 9: | ||
Где <tex>s(x)</tex> не меняет знака на отрезке, на котором ищется корень функции.<br> | Где <tex>s(x)</tex> не меняет знака на отрезке, на котором ищется корень функции.<br> | ||
Таким образом метод простой итерации - это одношаговый итерационны процесс.<br> | Таким образом метод простой итерации - это одношаговый итерационны процесс.<br> | ||
| + | ===Сходимость метода простых итераций=== | ||
| + | Метод сходится, если при <tex>k \to \infty<\tex> последовательность {<tex>x_n<\tex>} имеет предел.<br> | ||
===Метод релаксации=== | ===Метод релаксации=== | ||
Положим <tex>s(x) = c = const </tex> b и рассмотрим метод в этом случае.<br> | Положим <tex>s(x) = c = const </tex> b и рассмотрим метод в этом случае.<br> | ||
Тогда получим <tex>f(x_n) = \frac{x_{n+1}-x_{n}}{c}</tex> | Тогда получим <tex>f(x_n) = \frac{x_{n+1}-x_{n}}{c}</tex> | ||
| - | + | ||
== Числовые примеры == | == Числовые примеры == | ||
Версия 07:44, 24 ноября 2008
Содержание |
Постановка задачи
Пусть есть функция .
Требуется найти корень этой функции, то есть при котором
Решение необходимо найти численно, то есть для реализации на ЭВМ. Для решения этой задачи предлагается использовать метод простых итераций и его обобщения.
Метод простых итераций в общем виде
Заменеим исходное уравнение на эквивалентное
.
Итерации будем строить по правилу
Для сходимости метода очень важен выбор функции , поэтому ее обычно берут вида
Где не меняет знака на отрезке, на котором ищется корень функции.
Таким образом метод простой итерации - это одношаговый итерационны процесс.
Сходимость метода простых итераций
Метод сходится, если при b и рассмотрим метод в этом случае.
Тогда получим
Числовые примеры
Рекомендации программисту
Заключение
Ссылки
Список литературы
- А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы. Москва «Наука», 1989.
- Н.Н.Калиткин. Численные методы. Москва «Наука», 1978.
