Метод Бокса-Кокса

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Новая: В реальности часто приходится иметь дело со статистическими данными, которые по тем или иным причина...)
Строка 2: Строка 2:
==Вид преобразования==
==Вид преобразования==
-
Для исходной последовательности <tex>y = \{ y_1, \ldots, y_n \}, \quad y_i > 0, \quad i = 1,\ldots,n</tex> однопараметрическое преобразование Бокса-Кокса определяется следующим образом:
+
Для исходной последовательности <tex>y = \{ y_1, \ldots, y_n \}, \quad y_i > 0, \quad i = 1,\ldots,n</tex> однопараметрическое преобразование Бокса-Кокса с параметром <tex>\lambda</tex> определяется следующим образом:
:<tex> y_i^{\lambda} = \begin{cases}\frac{y_i^\lambda-1}{\lambda},&\text{if } \lambda \neq 0,\\ \log{(y_i)},& \text{if } \lambda = 0.\end{cases}</tex>
:<tex> y_i^{\lambda} = \begin{cases}\frac{y_i^\lambda-1}{\lambda},&\text{if } \lambda \neq 0,\\ \log{(y_i)},& \text{if } \lambda = 0.\end{cases}</tex>
 +
 +
==Модификации==
 +
 +
Так как исходный метод предполагает работу только с положительными величинами, было предложено несколько модификаций, учитывающих нулевые и отрицательные значения.
 +
 +
Самый очевидный вариант - сдвиг всех значений на константу <tex>\alpha</tex> так, чтобы выполнялось условие <tex>\quad (y_i + \lambda_2)> 0, \quad i = 1,\ldots,n</tex>. После этого преобразование выглядит так:
 +
 +
:<tex> y_i^{\lambda} = \begin{cases}\frac{(y_i+\alpha)^{\lambda}-1}{\lambda},&\text{if } \lambda_1 \neq 0,\\ \log{(y_i+\alpha)},& \text{if } \lambda = 0.\end{cases}</tex>
 +
 +
 +
:<tex>\tau(y_i;\lambda, \alpha) = \begin{cases} \frac{(y_i + \alpha)^\lambda - 1}{\lambda (\operatorname{GM}(y))^{\lambda - 1}}, & \text{if } \lambda\neq 0, \\ \operatorname{GM}(y)\ln(y_i + \alpha), & \text{if } \lambda=0,\end{cases}</tex>
 +
 +
где <tex>\quad \operatorname{GM}(y) = (y_1\cdots y_n)^{1/n}</tex>.
== Ссылки ==
== Ссылки ==

Версия 20:38, 28 декабря 2013

В реальности часто приходится иметь дело со статистическими данными, которые по тем или иным причинам не проходят тест на нормальность. В этой ситуации есть два выхода: либо обратиться к непараметрическим методам, либо воспользоваться специальными методами, позволяющими преобразовать исходную «ненормальную статистику» в «нормальную». Среди множества таких методов преобразований одним из лучших (при неизвестном типе распределения) считается преобразование Бокса-Кокса.

Вид преобразования

Для исходной последовательности y = \{ y_1, \ldots, y_n \}, \quad y_i > 0, \quad i = 1,\ldots,n однопараметрическое преобразование Бокса-Кокса с параметром \lambda определяется следующим образом:

y_i^{\lambda} = \begin{cases}\frac{y_i^\lambda-1}{\lambda},&\text{if } \lambda \neq 0,\\ \log{(y_i)},& \text{if } \lambda = 0.\end{cases}

Модификации

Так как исходный метод предполагает работу только с положительными величинами, было предложено несколько модификаций, учитывающих нулевые и отрицательные значения.

Самый очевидный вариант - сдвиг всех значений на константу \alpha так, чтобы выполнялось условие \quad (y_i + \lambda_2)> 0, \quad i = 1,\ldots,n. После этого преобразование выглядит так:

y_i^{\lambda} = \begin{cases}\frac{(y_i+\alpha)^{\lambda}-1}{\lambda},&\text{if } \lambda_1 \neq 0,\\ \log{(y_i+\alpha)},& \text{if } \lambda = 0.\end{cases}


\tau(y_i;\lambda, \alpha) = \begin{cases} \frac{(y_i + \alpha)^\lambda - 1}{\lambda (\operatorname{GM}(y))^{\lambda - 1}}, & \text{if } \lambda\neq 0, \\ \operatorname{GM}(y)\ln(y_i + \alpha), & \text{if } \lambda=0,\end{cases}

где \quad \operatorname{GM}(y) = (y_1\cdots y_n)^{1/n}.

Ссылки

Источник — «http://www.recognition.su/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%91%D0%BE%D0%BA%D1%81%D0%B0-%D0%9A%D0%BE%D0%BA%D1%81%D0%B0»