Критерий Мак-Нимара

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Текущая версия

Критерий Мак-Нимара (также, К. Мак-Немара, англ. McNemar's test) используется для анализа таблиц сопряженности размером 2x2 (для дихотомического признака). В отличие от критерия хи-квадрат, критерий Мак-Немара применяется, когда условие независимости наблюдений не выполняется, но, напротив, учет признака выполняется на одних и тех же субъектах.

Определение

Рассмотрим n субъектов, для каждого из которых было проведено 2 теста:

	Тест 2 положительный	Тест 2 отрицательный	Сумма в строке
Тест 1 положительный	a	b	a + b
Тест 1 отрицательный	c	d	c + d
Сумма в столбце	a + c	b + d	n

Нулевая гипотеза утверждает, что маргинальные распределения для всех исходов совпадают:

$p_a + p_b = p_a + p_c$ ,

$p_c + p_d = p_b + p_d$ .

Заметим, что корректность этих равенств не зависит от $p_a$ и $p_b$ . После сокращения, получаем оригинальную формулировку нулевой и альтернативной гипотез:

$H_0~: \quad p_b = p_c$ ,

$H_1~: \quad p_b \ne p_c$ .

Оригинальная форма статистического критерия Мак-Немара такова:

$\chi^2 = {(b-c)^2 \over b+c}$ .

Применение коррекции Йейтса для повышения качества качества критерия на выборках с низкочастотными событиями приводит к следующей формуле:

$\chi^2 = {(|b-c|-0.5)^2 \over b+c}$ .

На практике (например, по умолчанию в функции mcnemar.test в R), однако, обычно применяется коррекция Эдвардса:

$\chi^2 = {(|b-c|-1)^2 \over b+c}$ .

При условии выполнения нулевой гипотезы для достаточно больших выборок (b + c > 25) статистика $\chi^2$ имеет распределение хи-квадрат с одной степенью свободы. Для маленьких выборок (b + c <= 25) применяют точный критерий Мак-Немара, который является критерием знаков для b относительно биномиального распределения с параметрами n = b + c, p = 1/2.

Пример

$\begin{array}{cc} & \text{Sibling} \\ \text{Patient} & \begin{array}{c|c|c} \hline & \text{No tonsillectomy} & \text{Tonsillectomy} \\ \hline\text{No tonsillectomy} & 37 & 7 \\ \hline\text{Tonsillectomy} & 15 & 26 \end{array} \end{array}$

В системе R:

> d <- matrix(c(37, 7, 15, 26), 2, 2)
> mcnemar.test(d)

	McNemar's Chi-squared test with continuity correction

data:  d
McNemar's chi-squared = 2.2273, df = 1, p-value = 0.1356

> mcnemar.test(d, correct=F)

	McNemar's Chi-squared test

data:  d
McNemar's chi-squared = 2.9091, df = 1, p-value = 0.08808

> mcnemar.exact(d)

	Exact McNemar test (with central confidence intervals)

data:  d
b = 15, c = 7, p-value = 0.1338
alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
95 percent confidence interval:
 0.8224084 6.2125863
sample estimates:
odds ratio 
  2.142857

Реализации

MATLAB: встроенной реализации нет, есть реализации на File Exchange.
R: функция mcnemar.test в стандартном пакете stats и mcnemar.exact в пакете exact2x2.
Python: Библиотека statsmodels.

Ссылки

EnWiki: McNemar's test
McNemar, Quinn (June 18, 1947). "Note on the sampling error of the difference between correlated proportions or percentages". Psychometrika 12 (2): 153–157.
Yates, F (1934). "Contingency table involving small numbers and the χ2 test". Supplement to the Journal of the Royal Statistical Society 1(2), 217–235.
Edwards, A (1948). "Note on the "correction for continuity" in testing the significance of the difference between correlated proportions". Psychometrika 13: 185–187.
Fay, Michael P. "Exact McNemar’s Test and Matching Confidence Intervals". (2011).

Источник — «http://www.recognition.su/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%9C%D0%B0%D0%BA-%D0%9D%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%80%D0%B0»

Категории: Прикладная статистика | Статистические критерии

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-{{UnderConstruction|[[Участник:Borman|Михаил Борисов]] 14:16, 3 декабря 2013 (MSK)}}
+'''Критерий Мак-Нимара''' (также, К. ''Мак-Немара'', англ. ''McNemar's test'') используется для анализа [[Таблица сопряженности|таблиц сопряженности]] размером 2x2 (для дихотомического признака). В отличие от критерия [[Таблица сопряженности#Критерий "хи-квадрат" для анализа таблиц сопряженности|хи-квадрат]], критерий Мак-Немара применяется, когда условие независимости наблюдений не выполняется, но, напротив, учет признака выполняется на одних и тех же субъектах.
-'''Критерий Мак-Нимара''' (также, К. ''Мак-Немара'', англ. ''McNemar's test'') используется для анализа [[Таблица_сопряженности|таблиц сопряженности]] размером 2x2 (для дихотомического признака). В отличие от [[Таблица сопряженности#Критерий "хи-квадрат" для анализа таблиц сопряженности|критерия "хи-квадрат"]], критерий Мак-Немара применяется, когда условие независимости наблюдений не выполняется, но, напротив, учет признака выполняется на одних и тех же субъектах.
 == Определение ==
-<center>
+Рассмотрим ''n'' субъектов, для каждого из которых было проведено 2 теста:
-{| class="wikitable" style="text-align:center"
+::{| class="wikitable" style="text-align:center"
 |-
-|         || Test 2 positive || Test 2 negative  || Row total
+|         || Тест 2 положительный || Тест 2 отрицательный || Сумма в строке
 |-
-| Test 1 positive || ''a'' || ''b'' || ''a'' + ''b''
+| Тест 1 положительный || ''a'' || ''b'' || ''a'' + ''b''
 |-
-| Test 1 negative || ''c'' || ''d'' || ''c'' + ''d''
+| Тест 1 отрицательный || ''c'' || ''d'' || ''c'' + ''d''
 |-
-| Column total || ''a'' + ''c'' || ''b'' + ''d'' || ''n''
+| Сумма в столбце || ''a'' + ''c'' || ''b'' + ''d'' || ''n''
-|}</center>
+|}
-The [[null hypothesis]] of marginal homogeneity states that the two marginal probabilities for each outcome are the same, i.e. ''p''<sub>''a''</sub>&nbsp;+&nbsp;''p''<sub>''b''</sub>&nbsp;=&nbsp;''p''<sub>''a''</sub>&nbsp;+&nbsp;''p''<sub>''c''</sub> and ''p''<sub>''c''</sub>&nbsp;+&nbsp;''p''<sub>''d''</sub>&nbsp;=&nbsp;''p''<sub>''b''</sub>&nbsp;+&nbsp;''p''<sub>''d''</sub>.
-Thus the null and alternative hypotheses are<ref name=McNemar1947/>
+[[Нулевая гипотеза]] утверждает, что маргинальные распределения для всех исходов совпадают:
-::<tex>
+::<tex>p_a + p_b = p_a + p_c</tex>,
-\begin{align}
+::<tex>p_c + p_d = p_b + p_d</tex>.
-H_0 & :~p_b=p_c \\
-H_1 & :~p_b \ne p_c
-\end{align}
-</tex>
-Here ''p''<sub>''a''</sub>, etc., denote the theoretical probability of occurrences in cells with the corresponding label.
+Заметим, что корректность этих равенств не зависит от <tex>p_a</tex> и <tex>p_b</tex>. После сокращения, получаем оригинальную формулировку нулевой и альтернативной гипотез:
-The McNemar [[test statistic]] is:
+::<tex>H_0~: \quad p_b = p_c</tex>,
+::<tex>H_1~: \quad p_b \ne p_c</tex>.
-:<tex>\chi^2 = {(b-c)^2 \over b+c}.</tex>
+Оригинальная форма [[Статистический критерий|статистического критерия]] Мак-Немара такова:
-The statistic with [[Yates's correction for continuity]]<ref>Yates, F (1934). Contingency table involving small numbers and the χ<sup>2</sup> test. ''Supplement to the Journal of the Royal Statistical Society 1''(2), 217–235.[http://www.jstor.org/pss/2983604 JSTOR Archive for the journal]</ref> is given by:{{Citation needed|date=October 2011}}
+::<tex>\chi^2 = {(b-c)^2 \over b+c}</tex>.
-::<tex>\chi^2 = {(|b-c|-0.5)^2 \over b+c}.</tex>
+Применение [[Коррекция Йейтса|коррекции Йейтса]] для повышения качества качества критерия на выборках с низкочастотными событиями приводит к следующей формуле:
-An alternative correction of 1 instead of 0.5 is attributed to Edwards
+::<tex>\chi^2 = {(|b-c|-0.5)^2 \over b+c}</tex>.
-<ref name=Edwards1948>{{Cite journal| volume = 13| pages = 185–187| last = Edwards| first = A| title = Note on the "correction for continuity" in testing the significance of the difference between correlated proportions| journal = Psychometrika| date = 1948}}</ref>
-by Fleiss,<ref name=Fleiss1981>{{cite book | year=1981 | author=Fleiss, J. L. | title=Statistical methods for rates and proportions |page=114 |edition=2nd |publisher= [[John Wiley & Sons]] |location=New York |isbn=0-471-06428-9 }}</ref>  resulting in a similar equation:
+На практике (например, по умолчанию в функции <code>mcnemar.test</code> в R), однако, обычно применяется коррекция Эдвардса:
-::<tex>\chi^2 = {(|b-c|-1)^2 \over b+c}.</tex>
+::<tex>\chi^2 = {(|b-c|-1)^2 \over b+c}</tex>.
+При условии выполнения нулевой гипотезы для достаточно больших выборок (''b + c > 25'') статистика <tex>\chi^2</tex> имеет распределение [[Распределение хи-квадрат|хи-квадрат]] с одной степенью свободы.
+Для маленьких выборок (''b + c <= 25'') применяют точный критерий Мак-Немара, который является [[Критерий знаков|критерием знаков]] для ''b'' относительно биномиального распределения с параметрами ''n = b + c, p = 1/2''.
 == Пример ==
+<tex>
+\begin{array}{cc}
+& \text{Sibling} \\
+\text{Patient} &
+\begin{array}{c|c|c}
+\hline & \text{No tonsillectomy} & \text{Tonsillectomy} \\
+\hline\text{No tonsillectomy} & 37 & 7 \\
+\hline\text{Tonsillectomy} & 15 & 26
+\end{array}
+\end{array}
+</tex>
+В системе R:
+<pre>
+> d <- matrix(c(37, 7, 15, 26), 2, 2)
+> mcnemar.test(d)
+	McNemar's Chi-squared test with continuity correction
+data:  d
+McNemar's chi-squared = 2.2273, df = 1, p-value = 0.1356
+> mcnemar.test(d, correct=F)
+	McNemar's Chi-squared test
+data:  d
+McNemar's chi-squared = 2.9091, df = 1, p-value = 0.08808
+> mcnemar.exact(d)
+	Exact McNemar test (with central confidence intervals)
+data:  d
+b = 15, c = 7, p-value = 0.1338
+alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
+percent confidence interval:
+.8224084 6.2125863
+sample estimates:
+odds ratio
+.142857
+</pre>
 == Реализации ==
 * MATLAB: встроенной реализации нет, есть [http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/index?utf8=%E2%9C%93&term=mcnemar реализации на File Exchange].
-* R: функции <code>mcnemar.test</code> и <code>mcnemar.exact</code>.
+* R: функция [http://stat.ethz.ch/R-manual/R-patched/library/stats/html/mcnemar.test.html <code>mcnemar.test</code>] в стандартном пакете <code>stats</code> и <code>mcnemar.exact</code> в пакете <code>exact2x2</code>.
-* Python: в библиотеках не реализован.
+* Python: Библиотека [http://statsmodels.sourceforge.net/stable/generated/statsmodels.sandbox.stats.runs.mcnemar.html#statsmodels.sandbox.stats.runs.mcnemar <code>statsmodels</code>].
 == Ссылки ==
 * [http://en.wikipedia.org/wiki/McNemar%27s_test EnWiki: McNemar's test]
-* McNemar, Quinn (June 18, 1947). "Note on the sampling error of the difference between correlated proportions or percentages". Psychometrika 12 (2): 153–157. http://dx.doi.org/10.1007%2FBF02295996
+* McNemar, Quinn (June 18, 1947). [http://dx.doi.org/10.1007%2FBF02295996 "Note on the sampling error of the difference between correlated proportions or percentages"]. Psychometrika 12 (2): 153–157.
-* Fay, Michael P. "Exact McNemar’s Test and Matching Confidence Intervals." (2011). [http://cran.rstudio.com/web/packages/exact2x2/vignettes/exactMcNemar.pdf PDF]
+* Yates, F (1934). [http://www.jstor.org/pss/2983604 "Contingency table involving small numbers and the χ2 test"]. Supplement to the Journal of the Royal Statistical Society 1(2), 217–235.
+* Edwards, A (1948). [http://dx.doi.org/10.1007%2FBF02289261"Note on the "correction for continuity" in testing the significance of the difference between correlated proportions"]. Psychometrika 13: 185–187.
+* Fay, Michael P. [http://cran.rstudio.com/web/packages/exact2x2/vignettes/exactMcNemar.pdf "Exact McNemar’s Test and Matching Confidence Intervals"]. (2011).
+[[Категория:Прикладная статистика]]
+[[Категория:Статистические критерии]]

Критерий Мак-Нимара

Материал из MachineLearning.

Текущая версия

Содержание

Определение

Пример

Реализации

Ссылки

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты