Сингулярное разложение

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Новая: <p>Сингулярное разложение (Singular Value Decomposition, SVD)&nbsp;&#151; декомпозиция вещественной матрицы с целью ее при...)
Строка 1: Строка 1:
-
<p>Сингулярное разложение (Singular Value Decomposition, SVD)&nbsp;&#151; декомпозиция вещественной матрицы с целью ее приведения к следующему каноническому виду.</p>
+
<p>'''Сингулярное разложение''' (Singular Value Decomposition, SVD)&nbsp;&#151; декомпозиция вещественной матрицы с целью ее приведения к следующему каноническому виду.</p>
-
<p>Теорема. Для любой вещественной <tex>(m\times m)</tex>-матрицы&nbsp;<tex>A</tex> существуют две вещественные ортогональные <tex>(m\times m)</tex>-матрицы&nbsp;<tex>U</tex> и&nbsp;<tex>V</tex> такие, что <tex>U^T A V</tex>&bnsp;&#151; диагональная матрица&nbsp;<tex>\Lambda</tex>, </p>
+
<p><b>Теорема</b>. Для любой вещественной <tex>(m\times m)</tex>-матрицы&nbsp;<tex>A</tex> существуют две вещественные ортогональные <tex>(m\times m)</tex>-матрицы&nbsp;<tex>U</tex> и&nbsp;<tex>V</tex> такие, что <tex>U^T A V</tex>&nbsp;&#151; диагональная матрица&nbsp;<tex>\Lambda</tex>, </p>
<p><center><tex>U^TAV=\Lambda.</tex></center></p>
<p><center><tex>U^TAV=\Lambda.</tex></center></p>
<p>Матрицы&nbsp;<tex>U</tex> и&nbsp;<tex>V</tex> выбираются так, чтобы диагональные элементы матрицы&nbsp;<tex>\Lambda</tex> имели вид </p>
<p>Матрицы&nbsp;<tex>U</tex> и&nbsp;<tex>V</tex> выбираются так, чтобы диагональные элементы матрицы&nbsp;<tex>\Lambda</tex> имели вид </p>
-
<p><center><tex>\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq ... \geq \lambda_r > \lambda_{r+1}=...=\lambda_m=0,</tex></center></p>
+
<p><center><tex>\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \ldots \geq \lambda_r > \lambda_{r+1}=\ldots=\lambda_m=0,</tex></center></p>
<p>где&nbsp;<tex>r</tex>&nbsp;&#151; ранг матрицы&nbsp;<tex>A</tex>. В частности, если&nbsp;<tex>A</tex> невырождена, то </p>
<p>где&nbsp;<tex>r</tex>&nbsp;&#151; ранг матрицы&nbsp;<tex>A</tex>. В частности, если&nbsp;<tex>A</tex> невырождена, то </p>
-
<p><center><tex>\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq ... \geq \lambda_m > 0.</tex></center></p>
+
<p><center><tex>\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \ldots \geq \lambda_m > 0.</tex></center></p>
<p>Индекс&nbsp;<tex>r</tex> элемента&nbsp;<tex>\lambda_r</tex> есть фактическая размерность собственного пространства матрицы&nbsp;<tex>A</tex>. Столбцы матриц&nbsp;<tex>U</tex> и&nbsp;<tex>V</tex> называются соответственно левыми и правыми сингулярными векторами, а значения диагонали матрицы&nbsp;<tex>\Lambda</tex> называются сингулярными числами.
<p>Индекс&nbsp;<tex>r</tex> элемента&nbsp;<tex>\lambda_r</tex> есть фактическая размерность собственного пространства матрицы&nbsp;<tex>A</tex>. Столбцы матриц&nbsp;<tex>U</tex> и&nbsp;<tex>V</tex> называются соответственно левыми и правыми сингулярными векторами, а значения диагонали матрицы&nbsp;<tex>\Lambda</tex> называются сингулярными числами.
</p>
</p>

Версия 13:38, 7 февраля 2008

Сингулярное разложение (Singular Value Decomposition, SVD) — декомпозиция вещественной матрицы с целью ее приведения к следующему каноническому виду.

Теорема. Для любой вещественной (m\times m)-матрицы A существуют две вещественные ортогональные (m\times m)-матрицы U и V такие, что U^T A V — диагональная матрица \Lambda,

U^TAV=\Lambda.

Матрицы U и V выбираются так, чтобы диагональные элементы матрицы \Lambda имели вид

\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \ldots \geq \lambda_r > \lambda_{r+1}=\ldots=\lambda_m=0,

где r — ранг матрицы A. В частности, если A невырождена, то

\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \ldots \geq \lambda_m > 0.

Индекс r элемента \lambda_r есть фактическая размерность собственного пространства матрицы A. Столбцы матриц U и V называются соответственно левыми и правыми сингулярными векторами, а значения диагонали матрицы \Lambda называются сингулярными числами.

Источник — «http://www.recognition.su/wiki/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5»