Автокорреляционная функция

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Текущая версия

Автокорреляционная функция - это характеристика сигнала, которая помогает находить повторяющиеся участки сигнала или определять несущую частоту сигнала, скрытую из-за наложений шума и колебаний на других частотах. Автокорреляционная функция часто используется в обработке сигналов и анализе временных рядов.

Неформально автокорреляционная функция - это сходство между значениями сигнала как функция от разницы во времени между ними.

Определение

На графиках представлена коррелограмма сигнала и собственно сигнал. Коррелограмма проявляет неочевидные периодические составляющие сигнала.

В статистике автокорреляция случайного процесса описывает корреляцию между значениями процесса в различные моменты времени. Пусть $X_t$ - значение случайного процесса в момент времени $t$ ( $t$ может быть вещественным, если процесс непрервыный, или целым, если процесс дискретный). Если $X_t$ имеет среднее значение $\mu_t$ и дисперсию $\sigma _t^2$ , то автокорреляция $X_t$ определяется следующим образом:

$R(t,s) = \frac{\operatorname{E}[(X_t - \mu_t)(X_s - \mu_s)]}{\sigma_t\sigma_s}$ ,

где "E" - это математическое ожидание. Заметим, что это определение не всегда корректно, так как знаменатель дроби может обращаться в нуль (для процессов-констант) или в бесконечность. Если же это выражение корректно, то его значение лежит в интервале [−1, 1], причем 1 оно принимает в случае полного совпадения, а 0 - в случае, если корреляции не наблюдается.

Для дискретного процесса длиной n ${X_1, X_2, \dots , X_n}$ с известными матожиданием и дисперсией автокорреляцию можно рассчитывать по следующей формуле:

$\hat{R}(k)=\frac{1}{(n-k) \sigma^2} \sum_{t=1}^{n-k} [X_t-\mu][X_{t+k}-\mu]$

для любых положительных целых k и n.

График автокорреляций выборки в зависиости от сдвига называется коррелограммой.

Свойства

Фундементальное свойство функции автокорреляции - это симметричность: R(i) = R(−i). В непрерывном случае автокорреляция - это четная функция:

$R_f(-\tau) = R_f(\tau)\,$

Непрервыная функция автокорреляции долстигает максимума в 0, так как для любого сдвига $\tau$ : $|R_f(\tau)| \leq R_f(0)$ . Аналогичное утверждение верно и для дискретного случая.

Автокорреляция периодической функции - это периодическая функция с тем же периодом.

Автокорреляция суммы двух некоррелирующих функций - это сумма автокорреляций этих функций.

Автокорреляция континуального белого шума имеет высокий пик (представимый как дельта-функция Дирака) в нуле и равна нулю во всех других точках.

Смотри также

Источники

Орлов А.И. Прикладная статистика М.: Издательство «Экзамен», 2004.

Ссылки

[1] (Wikipedia)

Источник — «http://www.recognition.su/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%B2%D1%82%D0%BE%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F»

Категории: Регрессионный анализ | Корреляционный анализ | Анализ временных рядов

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''Автокорреляционная функция'''
+'''Автокорреляционная функция''' - это характеристика сигнала, которая помогает находить повторяющиеся участки сигнала или определять [[несущая частота|несущую частоту]] сигнала, скрытую из-за наложений шума и колебаний на других частотах. Автокорреляционная функция часто используется в [[обраотка сигалов|обработке сигналов]] и анализе [[временной ряд|временных рядов]].
-В обработке сигналов автокорреляционная функция '''(АКФ)''' определяется [[интегралом]]:
+Неформально автокорреляционная функция - это сходство между значениями сигнала как функция от разницы во времени между ними.
-:<tex>\Psi (t) = \int f(t) f(t-\tau) dt</tex>
+== Определение ==
+[[Изображение:Autocorrelation.png|thumb|right|300px|На графиках представлена коррелограмма сигнала и собственно сигнал. Коррелограмма проявляет неочевидные периодические составляющие сигнала.]]
+В [[Статистика|статистике]] автокорреляция [[Случайный процесс|случайного процесса]] описывает [[корреляция|корреляцию]] между значениями процесса в различные моменты времени. Пусть <tex>X_t</tex> - значение случайного процесса в момент времени <tex>t</tex>  (<tex>t</tex> может быть вещественным, если процесс непрервыный, или целым, если процесс дискретный). Если <tex>X_t</tex> имеет среднее значение <tex>\mu_t</tex> и дисперсию <tex>\sigma _t^2</tex>, то автокорреляция <tex>X_t</tex> определяется следующим образом:
-и показывает связь [[сигнала]] (функции <tex>f(t)</tex>) с копией самого себя, смещённого на величину <tex>\tau</tex>.
+<tex>
+R(t,s) = \frac{\operatorname{E}[(X_t - \mu_t)(X_s - \mu_s)]}{\sigma_t\sigma_s}
+</tex>,
+где "E" - это [[математическое ожидание]]. Заметим, что это определение не всегда корректно, так как знаменатель дроби может обращаться в нуль (для процессов-констант) или в бесконечность. Если же это выражение корректно, то его значение лежит в интервале [&minus;1,&nbsp;1], причем 1 оно принимает в случае полного совпадения, а 0 - в случае, если корреляции не наблюдается.
-В теории [[Случайный процесс|случайных процессов]] '''АКФ''' является корреляционным моментом двух значений одной случайной функции <tex>X(t)</tex>:
+Для дискретного процесса длиной ''n'' <tex>{X_1, X_2, \dots , X_n}</tex> с известными матожиданием и дисперсией автокорреляцию можно рассчитывать по следующей формуле:
-:<tex>K(t_1, t_2) = M \biggl{ [X(t_1) - \overline{x}(t_1)]\biggr} </tex>,
+<tex>
+\hat{R}(k)=\frac{1}{(n-k) \sigma^2} \sum_{t=1}^{n-k} [X_t-\mu][X_{t+k}-\mu]
+</tex>
-где <tex>\overline{x}(t) = M[X(t)]</tex> - [[математическое ожидание]].
+для любых положительных целых ''k'' и ''n''.
-График автокорреляционной функции можно получить, отложив по оси ординат коэффициент корреляции двух функций (базовой и функции сдвинутой на величину <tex>\tau</tex>) а по оси абсцисс величину <tex>\tau</tex>. Если исходная функция строго периодическая, то на графике автокорреляционной функции тоже будет строго периодическая функция. Таким образом из этого графика можно судить о периодичности базовой функции, а следовательно и о её частотных характеристиках. Это применяется для анализа сложных колебаний, например электроэнцефалограммы человека.
+График автокорреляций выборки в зависиости от сдвига называется [[Коррелограмма|коррелограммой]].
-{{UnderConstruction|[[Участник:Argunov|Argunov]] 23:59, 8 января 2009 (MSK)}}
+== Свойства ==
+* Фундементальное свойство ''функции автокорреляции'' - это симметричность: ''R''(''i'')&nbsp;=&nbsp;''R''(&minus;''i''). В непрерывном случае автокорреляция - это четная функция:
+::<tex>R_f(-\tau) = R_f(\tau)\,</tex>
+* Непрервыная функция автокорреляции долстигает максимума в 0, так как для любого сдвига <tex>\tau</tex>: <tex>|R_f(\tau)| \leq R_f(0)</tex>. Аналогичное утверждение верно и для дискретного случая.
+* Автокорреляция периодической функции - это периодическая функция с тем же периодом.
+* Автокорреляция суммы двух некоррелирующих функций - это сумма автокорреляций этих функций.
+* Автокорреляция континуального белого шума имеет высокий пик (представимый как [[дельта-функция Дирака]]) в нуле и равна нулю во всех других точках.
+== Смотри также ==
+*[[Корреляция]]
+*[[Коррелограмма]]
+*[[Временной ряд]]
+== Источники ==
+* Орлов А.И. Прикладная статистика М.: Издательство «Экзамен», 2004.
+== Ссылки ==
+* [http://en.wikipedia.org/wiki/Autocorrelation] (Wikipedia)
+[[Категория:Регрессионный анализ]]
+[[Категория:Корреляционный анализ]]
+[[Категория:Анализ временных рядов]]

Автокорреляционная функция

Материал из MachineLearning.

Текущая версия

Содержание

Определение

Свойства

Смотри также

Источники

Ссылки

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты